Тангенс фи формула в энергетике: Страница не найдена — All-Audio.pro

Содержание

Что такое реактивная мощность простыми словами? — IronSet

Что такое реактивная мощность простыми словами?

Мощность, которая не была передана в нагрузку, а привела к потерям на нагрев и излучение, называется реактивной мощностью. Она равна произведению действующих значений тока и напряжения на синус угла сдвига фаз между ними (sin φ). Таким образом, реактивная мощность является величиной характеризующей нагрузку.

В чем разница между активной и реактивной мощности?

Пример работы активной энергии: ток, проходя через элемент сопротивления, часть энергии преобразует в нагрев. Эта совершённая работа тока и является активной. Реактивная электроэнергия – это энергия, возвращаемая обратно источнику тока.

Что такое активная мощность?

Для определения полной мощности нагрузки необходимо вычислить активную и реактивную мощность. Активная мощность — это полезная часть мощности, та часть, которая определяет прямое преобразования электрической энергии в другие необходимые виды энергии.

Как рассчитывается активная реактивная и полная мощность трехфазной цепи?

Активная мощность трехфазной цепи равна сумме активных мощностей ее фаз: Реактивная мощность трехфазной цепи равна сумме реактивных мощностей ее фаз: Очевидно, что в симметричной трехфазной цени Тогда Мощность одной фазы определяется по формулам для однофазной цепи….

Как определяется полная мощность трехфазной цепи?

Мощность трехфазного тока равна тройной мощности одной фазы. При соединении в звезду PY=3·Uф·Iф·cosфи =3·Uф·I·cosфи. При соединении в треугольник P=3·Uф·Iф·cosфи=3·U·Iф·cosфи. На практике применяется формула, в которой ток и напряжение обозначают линейные величины и для соединения в звезду и в треугольник.

Как найти коэффициент мощности трехфазной цепи?

P=U*I*sinφ, где U и I — действующие=эффективные=среднеквадратичные значения напряжения и тока, а φ- сдвиг фаз между ними

Что такое коэффициент Фи?

Коэффициент мощности cos фи (φ) определяется как отношение полезной мощности к полной. Математически это определение часто записывают в виде кВт/кВА, где числитель – активная (действительная) мощность, а знаменатель – кажущаяся (активная + реактивная, полная) мощность.

Как найти коэффициент мощности цепи?

Определение коэффициента мощности PF = P (кВт)/S (кВА), где: P = активная мощность; S = полная мощность. Коэффициент мощности нагрузки, которая может являться электроприемником (ЭП) или совокупностью таких ЭП (например, вся система), задается отношением P/S, т.

Как определяется коэффициент мощности cos φ?

Математически cos φ определяется как отношение активной мощности к полной или равен отношению косинуса этих величин (отсюда и название параметра). Геометрически коэффициент мощности можно изобразить, как косинус угла на векторной диаграмме между током, напряжением между током, напряжением.

Как определяется коэффициент мощности?

Обозначается чаще всего λ («лямбда»), PF (Power Factor) или по старинке cosφ: THD — Total Harmonic Distortion или КНИ (коэффициент нелинейных искажений) — коэффициент, определяемый отношением действующего значения первой гармоники тока к корню из суммы квадратов высших гармоник.

Как определить коэффициент мощности трансформатора?

Она равна полусумме номинальных мощностей всех обмоток трансформатора, т. е. полусумме произведений наибольшего длительно допустимого в каждой обмотке тока на допустимое напряжение.

Каким образом можно повысить коэффициент мощности?

Увеличения коэффициента мощности (уменьшения угла φ — сдвига фаз тока и напряжения) можно добиться следующими способами:

  1. заменой мало загруженных двигателей двигателями меньшей мощности,
  2. понижением напряжения
  3. выключением двигателей и трансформаторов, работающих на холостом ходу,

Зачем нужно повышать коэффициент мощности?

Повышение коэффициента мощности позволяет уменьшить номинальные значения мощности трансформаторов, распределительных устройств, кабелей, а также сократить потери мощности и ограничить потери напряжения.

Для чего нужен коэффициент мощности?

Коэффицие́нт мо́щности — безразмерная физическая величина, характеризующая потребителя переменного электрического тока с точки зрения наличия в нагрузке реактивной составляющей и мощности искажения (собирательное название — неактивная мощность).

Что является причиной низкого коэффициента мощности?

Напомним, что причиной низкого коэффициента мощности являются индуктивные нагрузки, которым нужна реактивная мощность. Увеличение реактивной мощности приводит к увеличению полной мощности, потребляемой от поставщика электроэнергии.

Как найти реактивную мощность?

Поскольку реактивная мощность зависит от угла φ, то для её вычисления применяется формула: Q = UI×sin φ. Единицей измерения реактивной составляющей является вар или кратная ей величина – квар.

Как найти ФИ в электротехнике?

cos фи = P / (U х I), где Р, U, I — показания приборов. где Pw — мощность всей системы, Uл, Iл — линейные напряжение и ток, измеренные вольтметром и амперметром.

Как определить косинус фи у трансформатора?

Косинус фи составляет 0,83.

Когда косинус фи равен 1?

При активной нагрузке (лампа накаливания, электрочайник) косинус фи (cosφ) равен единице, так как угол фи — ноль. При емкостной нагрузке ток будет опережать напряжение, а при индуктивной — отставать.

Какой косинус фи у светодиодных ламп?

Если, например, взять ДРД лампы, то косинус «ФИ» представлен значением 0,5, это говорит о том, что до 50% тратится просто так. Самый высокий показатель у светодиодных светильников. От 0,9 до 1.

Что такое синус фи?

Коэффициент мощности (cos φ, косинус фи ), Полная (кажущаяся), активная и реактивная мощность электродвигателя=электромотора и не только его. Коэффициент мощности для трехфазного электродвигателя. устройств) указывают активную мощность в Вт и cosφ / или λ /или PF. …

В чем измеряется cos фи?

Реактивная мощность измеряется в вольт-амперах реактивных (Вар, кВАр), а общая мощность измеряется в кВА. Коэффициент мощности, он же cosφ — это отношение активной мощности к полной.

Чему равен тангенс фи?

Тангенс фи – характеристика потерь Это отношение между реактивной и активной составляющими нагрузки. При возрастании доли реактивной составляющей тангенс возрастает, в пределе стремясь к бесконечности. Тангенс угла потерь также используется в электроэнергетике, но более привычным является показатель cos(φ).

Как найти тангенс через косинус?

Тригонометрические формулы

  1. При известном синусе или косинусе числа можно найти его тангенс или котангенс: tg a = sin a/cos a.
  2. Можно найти синус числа, если известен его косинус и наоборот: sin2 a + cos2 a = 1.
  3. Найти тангенс можно через синус при известном косинусе: 1 + tg2 a = 1/cos2 a.

Как можно найти тангенс?

Представляет собой соотношение катетов прямоугольного треугольника. То есть, tg(А)=ВС/АС, где ВС – противолежащий к углу (А) катет, АС – прилежащий катет.

Как найти тангенс если известен косинус на калькуляторе?

Как найти тангенс фи если известен косинус на инженерном калькулятор? Очень нужно для расчета электрических нагрузок Возводишь косинус в квадрат и делишь 1 на полученное значение (на калькуляторе есть кнопка 1/х) . Из полученного значения вычитаешь 1 и из получившегося числа извлекаешь корень квадратный.

Как найти тангенс фи зная косинус фи формула?

Как найти тангенс фи, если известен косинус фи формула: tg φ = (√(1-cos²φ))/cos φ

Как найти косинус какого то числа?

Косинус острого угла можно определить с помощью прямоугольного треугольника — он равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Косинус числа можно определить с помощью числовой окружности – косинус числа равен абсциссе соответствующей точки на ней. Значение косинуса всегда лежит в пределах от (-1) до (1).

Как найти косинус тангенс и котангенс если известен синус?

Тангенс это отношение синуса к косинусу: Tg(a)=Sin(a)/Cos(a). Котангенс это отношение косинуса к синусу: Ctg(a)=Cos(a)/Sin(a).

Коэффициенты реактивной мощности в договорах по передаче электрической энергии

Пример HTML-страницы

Технически необходимая степень КРМ в каждой точке сети определяется параметрами линий, соединяющих эту точку с источниками питания. Эти параметры индивидуальны для каждой точки и, следовательно, для каждого потребителя. Однако тарифы на электроэнергию не устанавливаются индивидуально для каждого потребителя, а дифференцируются только по четырем уровням напряжения питания: 110 кВ и выше, 35 кВ, 6–20 кВ и 0,4 кВ.

Дифференциация условий потребления (генерации) реактивной мощности для потребителей, присоединенных к сетям 110 кВ и ниже, в новом документе также осуществлена по четырем группам напряжений сетей, что представляется правильным. Так как затраты на производство и передачу реактивной энергии гораздо меньше аналогичных затрат, обусловленных активной энергией, способы выражения тарифов на реактивную энергию не могут быть «изощреннее» тарифов на активную энергию.

Значение коэффициента реактивной мощности в часы больших суточных нагрузок электрической сети (tg ϕ) установлены в зависимости от номинального напряжения сети, к которой подключен потребитель:

Данные значения указывают в договорах с потребителями электрической энергии, присоединенная мощность энергопринимающих устройств которых более 150 кВт (за исключением граждан-потребителей, использующих электрическую энергию для бытового потребления, и приравненных к ним в соответствии с нормативными правовыми актами в области государственного регулирования тарифов групп (категорий) потребителей (покупателей), в том числе многоквартирных домов, садоводческих, огороднических, дачных и прочих некоммерческих объединений граждан).

Значение коэффициента реактивной мощности, генерируемой в часы малых суточных нагрузок электрической сети, устанавливается равным нулю для всех случаев.

Сумма часов, составляющих периоды больших и малых суточных нагрузок, должна быть равна 24 часам и относиться ко всем суткам месяца, за исключением периодов привлечения потребителя к регулированию реактивной мощности. При определении в договоре временных интервалов больших и малых нагрузок необходимо руководствоваться фактическими параметрами режима электрической сети в конкретном энергоузле.

Если иное не определено договором, часами больших нагрузок считается период с 7 ч 00 мин до 23 ч 00 мин, а часами малых нагрузок – с 23 ч 00 мин до 7 ч 00 мин местного времени. Временные интервалы, в течение которых потребитель привлекается к регулированию реактивной мощности в часы больших и малых нагрузок, могут быть меньше соответствующих периодов больших и малых суточных нагрузок и относиться только к установленным в договоре суткам месяца.

В случае участия потребителя по соглашению с сетевой организацией в регулировании реактивной мощности в часы больших и/или малых нагрузок электрической сети, в договоре энергоснабжения определяются также диапазоны значений коэффициентов реактивной мощности, устанавливаемые отдельно для часов больших (tg ϕб ) и/или малых (tg ϕм) нагрузок электрической сети и применяемые в периоды участия потребителя в регулировании реактивной мощности.

При решении задачи установки КУ в сети потребителя суммарная мощность КУ является известной (равной разности между фактическим и заданным потреблением). Необходимо определить наилучший вариант размещения КУ в узлах внутренней сети предприятия с учетом специфики технологического процесса, возможностей установки КУ и желаемых режимов напряжения в узлах.

При решении аналогичной задачи для сетевой организации кроме указанных факторов необходимо осуществить экспертную оценку возможных действий потребителя. Если предполагается, что потребитель (или группа потребителей, питающихся от узла) в течение длительного времени не произведет установку КУ в своих сетях, то установка КУ в узле сетевой организации экономически выгодна. В противном случае установленные КУ могут оказаться неиспользуемыми. В обеих задачах необходимо учитывать прогноз изменения реактивных нагрузок.

Для потребителей, присоединенных к сетям напряжением 220 кВ и выше, а также к сетям 110 кВ (154 кВ) в случаях, когда они оказывают существенное влияние на электроэнергетические режимы работы энергосистем, предельное значение коэффициента реактивной мощности определяют на основе расчетов режима работы электрической сети, выполняемых как для нормальной, так и для ремонтной схем сети.

Индивидуальный характер влияния на режим сети крупных потребителей и малая вероятность компенсации изменений их нагрузки другими потребителями приводят к необходимости установления предельно допустимых значений в виде почасового суточного графика, а не в виде средних значений для часов больших и малых нагрузок как для потребителей, присоединенных к сетям 0,4–110 кВ. Это могут быть не обязательно 24 разных значения; в конкретном случае могут быть выделены несколько интервалов в течение суток.

Предельное значение реактивной нагрузки конкретного потребителя может быть определено при последовательном ее увеличении до значения, при котором параметры режима в каком-либо узле сети или в какой-либо линии электропередачи выходят на предельно допустимый уровень. Очевидно, что получение этого значения связано с теми или иными допущениями в отношении нагрузок других потребителей.

Можно рассматривать два предельных порядка утяжеления режимов:

  • увеличение реактивной мощности только в рассматриваемом узле сети;
  • одновременное увеличение реактивной мощности, потребляемой во всех узлах сети.

Первый порядок предполагает определение максимальной реактивной мощности, потребляемой в рассматриваемом узле сети, при условии, что потребители во всех остальных узлах не увеличивают своего потребления. Такой расчет приведет к достаточно высоким значениям допускаемого коэффициента реактивной мощности, так как не предполагает одновременного нарушения условий несколькими потребителями. Второй порядок предполагает ситуацию, при которой потребители во всех узлах могут одновременно увеличить потребление.

Очевидно, что при первом подходе требования к потребителям окажутся наиболее мягкими, а при втором – наиболее жесткими. Вместе с тем обе описанные ситуации можно считать маловероятными. Необходимо рассчитывать на ситуацию, при которой в ряде узлов нагрузки могут увеличиться одновременно, однако число таких узлов при расчете максимально допустимого потребления реактивной мощности конкретным потребителем должно быть ограничено разумным пределом.

Каждый из узлов сети имеет разную степень влияния на уровень напряжения в других узлах и разный размер «зоны влияния». Поэтому представляется логичным выделение сравнительно небольшой группы «критериальных» узлов, нагрузки которых следует рассматривать как увеличивающиеся с большой вероятностью одновременно с нагрузкой рассматриваемого узла. В остальных узлах реактивные нагрузки следует принимать на уровне их фактических значений, но не более соответствующих tg ϕ = 0,5.

Каждая сеть имеет свои специфические особенности режимов, поэтому получить строгие математические выражения для установления необходимого числа «критериальных» узлов и тем более их конкретного перечня невозможно. Можно использовать обычно принимаемый в инженерных расчетах критерий практической достоверности, который предполагает возможный выход за обычные условия пяти процентов случайных ситуаций. В этом случае число «критериальных» узлов необходимо ограничить пятью процентами общего числа узлов в сети. Например, для схемы в 300 узлов это составит 15 узлов. Выбор конкретных узлов является прерогативой энергоснабжающей организации.

Превышение установленных в договоре предельных значений коэффициента реактивной мощности оплачивается потребителем в соответствии с повышающим коэффициентом к тарифу. Выход технических параметров режима сети за предельно допустимые значения по определению является недопустимой ситуацией и не может компенсироваться оплатой.

Поэтому допустимые значения коэффициента реактивной мощности, включаемые в договор с потребителем, должны рассчитываться из условия сохранения определенного запаса по напряжению и нагрузкам линий электропередачи. При превышении этих значений потребитель выводит режим сети в зону риска, хотя расчетные значения параметров режима еще не достигают предельно допустимых значений. В этой зоне допустимо стимулировать потребителя к нормализации нагрузки экономическими способами.

Предельное значение коэффициента реактивной мощности, потребляемой конкретным потребителем в рассматриваемый час суток, определяют из условия недопущения снижения напряжения ни в одном из узлов электрической сети ниже номинального значения и повышения нагрузки ни одной из линий электропередачи сверх значения, допустимого по условиям устойчивости работы электрической сети.

Предельное значение коэффициента реактивной мощности, генерируемой конкретным потребителем в рассматриваемый час суток, определяют из условия недопущения повышения напряжения ни в одном из узлов электрической сети выше значения, предельно допустимого для электрооборудования, и повышения нагрузки ни одной из линий электропередачи сверх значения, допустимого по условиям устойчивости работы электрической сети.

Для обеспечения указанных условий расчетные значения напряжений в узлах и нагрузок линий электропередачи должны приниматься с учетом коэффициентов запаса. Исходя из экспертных оценок они могут быть установлены на уровнях:

  • 0,3 – для повышения напряжения в узлах от номинального напряжения сети до допустимого для электрооборудования;
  • 0,1 – для нагрузок линий электропередачи по отношению к предельно допустимому значению по условиям устойчивости работы электрической сети.

Предельно допустимые (максимальные) напряжения электрооборудования установлены ГОСТ 721 «Системы электроснабжения, сети, источники, преобразователи и приемники электрической энергии. Номинальные напряжения свыше 1000 В» (прил. 8). Значения допустимых напряжений с учетом коэффициента запаса приведены в табл. 7.2.

Таблица 7.2

Предельно допустимые напряжения

Предельно допустимое минимальное напряжение в узле сети может быть получено из условия обеспечения допустимых отклонений напряжения в сетях, присоединенных к шинам низкого напряжения трансформаторов. Расчеты показывают, что допустимые отклонения напряжения на этих шинах с учетом стандартных диапазонов РН устройствами РПН обеспечиваются при любом значении напряжения на шинах высокого напряжения в диапазоне от 0 до +10 % от номинального напряжения сети (см. п. 8.4.2). Поэтому предельно допустимое минимальное напряжение в узле сети может быть принято равным номинальному напряжению.

Как следует из изложенного, к потребителям, присоединенным к сетям напряжением 110 кВ (154 кВ), могут предъявляться разные требования в зависимости от того, оказывают они существенное влияние на режимы работы энергосистем или нет. Несмотря на то что однозначно определить понятие существенности влияния трудно, очевидно, что в нормативном документе должен быть указан его количественный критерий. На основе экспертной оценки принято, что потребителя относят к существенно влияющим на режимы сети, если при изменении его реактивной мощности от нуля до значения, соответствующего tg ϕ = 0,5, изменение напряжения в точке его присоединения превышает 5 %.

Что такое «коэффициент мощности»?

Сдвиг фаз между напряжением и током

Фазовый сдвиг – показатель, описывающий разность исходных фаз двух параметров, имеющих свойство меняться во времени с одинаковыми скоростями и периодами. Именно сдвиг между силой и напряжением определяет, сколько будет значение угла фи.

В радиотехнической промышленности используются цепочки для получения асинхронного хода. Одна RC-цепь создает 60-градусный сдвиг, для получения 180-градусного для трехфазной структуры организуют последовательное соединение трех цепочек.

При трансформации электродвижущей силы во вторичных обмотках прибора для всех вариаций тока ее значение идентично по фазе таковому для первичной обмотки. Если обмотки трансформатора включить в противофазе, значение напряжения получает обратный знак. Если напряжение идет по синусоиде, происходит сдвиг на 180 градусов.

В простом случае (к примеру, включение электрического чайника) фазы двух показателей совпадают, и они в одно и то же время достигают пиковых значений. Тогда при расчете потребительской мощности применять угол фи не требуется. Когда к переменному току подключен электродвигатель с составной нагрузкой, содержащей активный и индуктивный компоненты (двигатель стиральной машинки и т.д.), напряжение сразу подается на обмотки, а ток отстает вследствие действия индуктивности. Таким образом, между ними возникает сдвиг. Если индуктивный компонент (обмотки) подменен использованием достижений химии в виде емкостного аккумулятора, отстающей величиной, напротив, оказывается напряжение.

Косинус фи не следует путать с другим показателем, рассчитываемым для комплексных нагрузок, – коэффициентом демпфирования. Он широко используется в усилителях мощности и равен частному номинального сопротивлению прибора и выходному – усилка.

Угол фазового сдвига

Важный показатель

Косинус фи — показатель приборов, работающих от электротока. Это параметр, который характеризует искажения формы переменного тока. Если говорить математическим языком, этот показатель можно охарактеризовать как отношение активной мощности к полной. Чем выше это значение, тем эффективнее устройство расходует электроэнергию.

Для объяснения физического значения коэффициента в пример можно взять расчет других связанных с ним параметров для одного из устройств. Допустим:

  1. В сеть переменного тока был включен идеальный конденсатор.
  2. Поскольку переменное напряжение периодически меняет свою полярность, устройство будет то заряжаться, то вновь возвращать сохраненную энергию к источнику.
  3. В итоге будет происходить циркуляция электронов.

https://youtube.com/watch?v=-MBd7x6GmHU

В электросетях с постоянным током мощность, как и другие ключевые параметры, остается неизменной в течение некоторого периода. Для таких случаев применимо понятие мощности, представляющей собой произведение двух важных параметров тока — его силы и напряжения. Однако это нельзя сказать о токе переменном, ведь его параметры постоянно меняются. Именно поэтому нельзя просто определить значение по той формуле коэффициента мощности, которая используется для ее определения в случае с электросетью с постоянным током. По этой причине было введено такое понятие, как мгновенная мощность.

Причины низкого «косинуса фи»

Недозагрузка электродвигателей переменного тока

При недозагрузке электродвигателя потребляемая им активная мощность уменьшается пропорционально нагрузке. В то же время реактивная мощность изменяется меньше. Поэтому чем меньше нагрузка двигателя, тем с меньшим коэффициентом мощности он работает.

Так, например, асинхронный двигатель в 400 кВт при 1000 оборотах в минуту имеет «косинус фи», равный при полной нагрузке 0,83. При ¾ нагрузки тот же двигатель имеет cos φ = 0,8. При ½ нагрузке cos φ = 0,7 и при ¼ нагрузки cos φ = 0,5.

Двигатели, работающие вхолостую, имеют «косинус фи», равный от 0,1 до 0,3 в зависимости от типа, мощности и скорости вращения.

Неправильный выбор типа электродвигателя

Двигатели быстроходные и большой мощности имеют более высокий «косинус фи», чем тихоходные и маломощные двигатели. Двигатели закрытого типа имеют cos φ ниже, чем двигатели открытого типа. Двигатели, неправильно выбранные по типу, мощности и скорости, понижают cos φ.

Повышение напряжения в сети

В часы малых нагрузок, обеденных перерывов и тому подобного напряжение сети на предприятии увеличивается на несколько вольт. Это ведет к увеличению намагничивающего тока индивидуальных потребителей (реактивной составляющей их полного тока), что в свою очередь вызывает уменьшение cos φ предприятия.

Неправильный ремонт двигателя

При перемотке электродвигателей обмотчики вследствие неправильного подбора проводов иногда не заполняют пазы машины тем количеством проводников, которое было в фабричной обмотке. При работе такого двигателя, вышедшего из ремонта, увеличивается магнитный поток рассеяния, что приводит к уменьшению cos φ двигателя.

При сильном износе подшипников ротор двигателя может задевать при вращении за статор. Вместо того чтобы сменить подшипники, обслуживающий персонал иногда идет по неправильному и вредному пути и подвергает ротор обточке.

Увеличение воздушного зазора между ротором и статором вызывает увеличение намагничивающего тока и уменьшение cos φ двигателя.

Эффективность работы как важный параметр выбора

Еще одним важнейшим параметром работы светодиодного светильника является его энергоэффективность. Определяется он, как соотношение величины его светового потока к потребляемой мощности и задается в Лм/Вт.

На практике эффективность работы лед-прибора характеризует величину яркости при заданной мощности. Например, стандартное его значения для светодиодного источника – порядка 80 Лм/Вт, а для лампы накаливания – всего 11 Лм/Вт. Следовательно, при одинаковом энергопотреблении первый будет светить в 8 раз ярче второго.

Следует знать, что понятие эффективности работы нужно рассматривать раздельно для светодиода и самого светильника. Плафон, материал рассеивателя, система оптики и драйвер вносят свой вклад в потерю этого параметра. Это нужно обязательно учитывать при выборе лед-источника для того или иного типа прибора освещения.

Усредненные значения коэффициента мощности

ГОСТы указывают на необходимость корректного указания данной цифры. Для разных типов электроприборов характерные значения находятся в определенных границах:

  • Нагревательные компоненты и лампы накаливания, несмотря на присутствие в составе катушек, рассматриваются как строго активная нагрузка, несущественную индуктивную составляющую в этом случае принято игнорировать. Косинус фи для них берут за единицу.
  • У ударных и обычных дрелей, перфораторов и подобных ручных инструментов, работающих от электричества, индуктивная нагрузка выражена слабо, индикатор примерно равен 0,95-0,97. Обычно эту цифру не указывают в инструкциях из-за очевидного пренебрежимо малого значения индукции.
  • Сварочные трансформаторы, высокомощные двигатели, люминесцентные лампочки несут существенную индуктивную нагрузку. Цифра может иметь значения в диапазоне 0,5-0,85. Ее надо правильно определить и учитывать при эксплуатации, к примеру, при выборе сечения кабелей питания (они не должны перегреваться).

Сварочный трансформатор – прибор, требующий повышенного внимания к показателю cos fi

Усредненные значения коэффициента мощности

Лампы накаливания и электрические нагревательные элементы, хотя и имеют в своих конструкциях спирали, намотанные с помощью специального провода, считаются чисто активной нагрузкой для сетей переменного тока. Так как индуктивность этих элементов настолько мала, что ею, как правило, просто пренебрегают. Для таких приборов cos ϕ (или коэффициент мощности) принимают равным 1.

В разнообразных электрических ручных инструментах (дрелях, перфораторах, лобзиках и так далее) индуктивная составляющая мощности достаточно мала. Для них принято считать cos ϕ≈0,96÷0,97. Этот показатель достаточно близок к единице, поэтому его, практически, никогда не указывают в технических характеристиках.

Для мощных электродвигателей, люминесцентных ламп и сварочных трансформаторов cos ϕ≈0,5÷0,82. Этот коэффициент мощности необходимо учитывать, например, при выборе диаметра питающих проводов, чтобы они не нагрелись, и не сгорела их изоляция.

Мощность и прогресс светодиодных ламп

По мере развития технологии производства лед-светильников совершенствовалась их энергоэффективность. Наряду с ростом мощности улучшался и ее удельный коэффициент, иначе называемый косинусом фи. Для расчета его величины применяется формула:

cosφ=P/S

Где P – реальная величина потребляемой нагрузки (затраченной на полезную работу), а S – полная мощность (по паспортным данным). Чем она выше, тем больше коэффициент КПД источника света, а, следовательно, и его энергоэффективность. Его значение в зависимости от экземпляра светильника может варьироваться в широких пределах от 0 до 1. У лучших светодиодных ламп он может достигать 0,95 и выше.

Не затраченная на полезную работу электроэнергия носит название реактивной мощности (в противоположность коэффициенту фи). Как правило, это обычные теплопотери. Например, у стандартной лампы накаливания этот параметр может достигать 95%. Это значит, что всего лишь 5% потребляемой мощности преобразуется в световое излучение, а основная – тратится на нагрев окружающего пространства!

Совершенно иная картина у светодиодных светильников. Их коэффициент мощности начинается как минимум с 0,85. Благодаря этому для достижения заданной яркости, сравнимой со стандартной лампой накала, потребляемую мощность можно снизить на порядок (наглядно это будет показано в ниже приводимых таблицах). Помимо этого показателя, среди их наиболее явных преимуществ выделяются:

  1. Срок службы до 100 тыс. часов.
  2. Максимальная энергоэффективность.
  3. Пожаробезопасность.
  4. Высокое качество цветопередачи.
  5. Широкий спектр температуры цвета.
  6. Экологичность.

Однако, чтобы параметры светодиодных светильников, в том числе коэффициент мощности, соответствовали принятым стандартам, производители должны строго соблюдать технологии изготовления. Поэтому распространенные многочисленные подделки и дешевые изделия фирм-однодневок не могут характеризоваться высоким качеством.

Падает ли мощность светодиодной лампы со временем

Фирменные лед-светильники существенно улучшают освещенность объектов, территорий и помещений благодаря стабильности работы, отсутствию пульсации и хорошей цветопередачи предметов. Однако со временем и их основные характеристики требуют проверки на предмет ухудшения. Среди наиболее важных параметров, указываемых производителем в паспортных данных, выделяются:

  1. Световой поток светодиодных светильников (обозначается в люменах и определяет яркость свечения). Как правило, его значение несколько снижается после получасовой работы. Это нужно учитывать при изначальном его замере прибором – перед покупкой.
  2. Температура цвета. Сегмент спектра может быть теплым, холодным и нейтральным.
  3. Радиопомехи. При использовании качественных компонентов светодиодный светильник не испытывает возмущений. Для проверки его можно помесить вблизи радиоприемника.
  4. Пульсация. Это важнейший параметр, влияющий на комфорт пребывания под действием прибора освещения. Для различного назначения существуют свои пределы глубины этой характеристики. Для измерения используется пульсометр.
  5. Яркость. Изменяется со временем вследствие деградации лед-кристалла. Для определения применяется яркометр. Если величина ухудшилась более, чем на 30% от первоначального значения, лампочка требует замены.

Независимо от коэффициента мощности оттенок светового потока также изменяется. Цвет задается состоянием люминофора, который по мере эксплуатации может истончаться. В результате световой поток становится более холодным.

Коэффициент мощности cos φ: определение, назначение, формула

Коэффициент мощности – это скалярная физическая величина, показывающая насколько рационально потребителями расходуется электрическая энергия. Другими словами, коэффициент мощности описывает электроприемники с точки зрения присутствия в потребляемом токе реактивной составляющей.

Физическая сущность и основные методы определения

Математически cos φ

Математически cos φ определяется как отношение активной мощности к полной или равен отношению косинуса этих величин (отсюда и название параметра).

Величина коэффициента мощности может изменяться в интервале 0 — 1 (либо в диапазоне 0 — 100%). Чем ближе его величина к 1, тем лучше, поскольку при величине cos φ = 1 – потребителем реактивная мощность не потребляется (равняется 0), следовательно, меньше потребляемая полная мощность в общем.

Низкий cos φ указывает на то, что на внутреннем сопротивлении потребителя выделяется повышенная реактивная мощность.

 Когда токи / напряжения являются идеальными сигналами синусоидальной формы, то коэффициент мощности составляет 1.

В энергетике для коэффициента мощности используются следующие обозначения cos φ либо λ. В случае если для определения коэффициента мощности используется λ, его значение выражают в %.

Геометрически коэффициент мощности можно изобразить, как косинус угла на векторной диаграмме между током, напряжением между током, напряжением. В связи с чем при синусоидальной форме токов и напряжений величина cos φ совпадает с косинусом угла, от которого отстают эти фазы.

Повышение коэффициента мощности

Значение коэффициента мощности рассчитывают при проектировании сетей. Поскольку низкое его значение является следствием увеличения величины общих потерь электроэнергии. Для его увеличения в сетях используют различные способы коррекции, повышая его значение до 1.

Повышение cos φ преследует 3 основные задачи:

1) снижение потерь электроэнергии;

2) рациональное использование цветных металлов на создание электропроводящей аппаратуры;

3) оптимальное использование установленной мощности трансформаторов, генератор и прочих машин переменного тока.

Технически коррекция реализуется в виде введения различных дополнительных схем на вход устройств. Эта техника требуется для равномерного использования мощности фазы, устранения перегрузок нулевого провода 3-х-фазной сети, и является обязательной для импульсных источников питания, установленной мощностью 100 Вт и более.

Помимо этого, компенсация позволяет обеспечить отсутствие всплесков потребляемого тока на пике синусоиды, равномерную нагрузку на питающую линию.

Основные способы коррекции

1. Коррекция реактивной составляющей мощности производится путём включения реактивного элемента, имеющего противоположное действие. К примеру, для компенсации работы асинхронной машины, обладающей высокой индуктивной реактивной составляющей мощности, в параллель включается конденсатор.

2. Корректировка нелинейности электропотребления. При потреблении тока нагрузкой непропорционально основной гармонике напряжения, для повышения коэффициента мощности в схему вводят пассивный (активный) корректор коэффициента мощности. Наиболее простым примером пассивного корректора cos φ является дроссель с высокой индуктивностью, подключаемый последовательно с нагрузкой. Дроссель производит сглаживание импульсного потребления нагрузки и создание низшей, основной гармоники тока.

3. Корректировка естественным способом, не предусматривающая установку дополнительных устройств, предполагает упорядочение технологического процесса, рациональное распределение нагрузок, ведущее к улучшению режима потребления электроэнергии оборудованием, повышению коэффициента мощности.

Практическое значение

В электроэнергетике при проектировании сетей cos коэффициент фи стремятся повысить как можно больше. Соотношение cos угла fi подразумевает, что в случае его малого показателя для обеспечения нужной мощности цепи потребуется использовать электрический ток очень большой силы. Существует корреляция между применением высокого тока и потерями энергии в подводящих кабелях: если показания электросчетчика заметно выше ожидаемых, всегда проверяют правильность расчетов угла фи.

Показатель может быть выяснен с помощью специального прибора – фазометра. При недостаточности коэффициента в дело идут усилители и другие установки, призванные скомпенсировать энергетические потери. Если угол фи рассчитан неправильно, будут иметь место снижение эффективности работы электрооборудования и рост энергопотребления.

Низкий коэффициент мощности: причины и последствия

Низкий показатель приводит к максимуму устранения энергетической составляющей. Используются специальные приборы для компенсации, которые позволяют снизить потребление электричества и увеличить кпд устройства.

Нагрузочные потери в элементах сети

Нагрузочные приводят к перераспределению и снижению энергетической составляющей. Уровень напряжения падает, что обуславливает значительный перегрев устройства. Следствие — потеря эффективности и работоспособности, быстрый выход оборудования из строя.

Потери в силовом трансформаторе

Коэффициент, обладающий разрозненными характеристиками, вызывает уход электроэнергии. Энергия неправильно распределяется. Увеличив рассматриваемый показатель удается достигнуть необходимых характеристик. В условиях значительной стоимости энергия в современных реалиях для предприятия снижение потерь становится первостепенной задачей. Дополнительно можно подключить нагрузку.

Особенности компенсации реактивной мощности в сетях напряжением 6.3-10.5/0,4 кВ

Целесообразность компенсации реактивной мощности для потребителя можно рассматривать, как в техническом, так и экономическом аспектах. В случае подключения потребителя к распределительной сети 6,3 (10,5) кВ конденсаторные установки могут интегрироваться на подстанции в балансовой принадлежности электросетевой компании и тогда потребитель будет иметь чисто техническую выгоду от качества получаемой электроэнергии. При установке КРМ 6,3 (10,5) кВ (или УКРМ 6,3 (10,5) кВ) на шинах РУ 6,3 (10,5) кВ предприятия, или на шинах РУ цеховых ТП 6-10/0,4 кВ, шинах первичных цеховых РП 0,4 кВ, а также непосредственно у электроприемников, потребитель будет иметь, как техническую, так и экономическую выгоду за счет возможности использования активной мощности в более полном объеме и соответственно снижения затрат на «балластную» реактивную мощность.

Способы увеличения «косинуса фи»

Вышеперечисленные последствия низкого cos φ с достаточной убедительностью говорят о том, что необходимо вести борьбу за высокий cos φ. К мерам увеличения cos φ относятся:

  1. Правильный выбор типа, мощности и скорости вновь устанавливаемых двигателей;
  2. Увеличение загрузки двигателей;
  3. Недопущение работы двигателей вхолостую продолжительное время;
  4. Правильный и высококачественный ремонт двигателей;
  5. Применение статических (то есть неподвижных, невращающихся) конденсаторов.

Малый вес конденсаторов, отсутствие вращающихся частей, незначительные потери энергии в них, легкость обслуживания, безопасность и надежность в работе дают возможность широкого применения статических конденсаторов для повышения cos φ двигателей.

Подбирая величину емкости при параллельном соединении и емкости, можно добиться уменьшения угла сдвига фаз между напряжением и общим током при неизменной активной и реактивной мощности, потребляемой ветвью с индуктивностью. Этот угол можно сделать равным нулю. Тогда ток, текущий на общем участке цепи, будет иметь наименьшую величину и совпадать по фазе с напряжением сети.

Это явление называется компенсацией сдвига фаз и широко используется на практике. По экономическим соображениям невыгодно доводить угол φ до нуля, практически целесообразно иметь cos φ = 0,9 – 0,95.

Рассмотрим расчет емкости конденсаторов, которые нужно включить параллельно индуктивной нагрузке, чтобы повысить cos φ до заданной величины.

На рисунке 1, а изображена схема включения индуктивной нагрузки в сеть переменного тока. Для увеличения коэффициента мощности параллельно потребителю включена батарея конденсаторов. Векторная диаграмма начинается с построения вектора напряжения U. Ток I1 вследствие индуктивного характера нагрузки отстает по фазе от напряжения сети на угол φ1. Необходимо уменьшить угол сдвига фаз между напряжением U и общим током до величины φ. Иначе говоря, увеличить коэффициент мощности от значения cos φ1 до значения cos φ.

Рисунок 1. Увеличение cos φ при помощи статических конденсаторов:а – схема включения; б – векторная диаграмма

Отрезок ос, представляющий активную слагающую тока I1, равен:

ос = I1 × cos φ1 = оа × cos φ1 .

Пользуясь выражением мощности переменного тока

P = U × I × cos φ ,

отрезок ос выразим так:

Ток на общем участке цепи I равен геометрической сумме тока нагрузки I1 и тока конденсатора IC.

Из треугольника оас и овс имеем:

ас = ос × tg φ1 ;bс = ос × tg φ .

Из диаграммы получаем:

ab = od – ac – bc = ос × tg φ1 – ос × tg φ = oc × (tg φ1 – tg φ) .

Так как

abIC

Вместе с этим, как было указано выше,

IC = U × ω × C .

Следовательно,

Пример 1. Электрические двигатели шахты потребляют мощность 2000 кВт при напряжении 6 кВ и cos φ1 = 0,6. Требуется найти емкость конденсаторов, которую нужно подключить на шины установки, чтобы увеличить cos φ до 0,9 при f = 50 Гц.

Решение.

cos φ1 = 0,6;     φ1 = 53°10’;     tg φ1 = 1,335;

cos φ = 0,9;     φ = 25°50’;     tg φ = 0,484;

Треугольник мощностей

Рассматриваемый коэффициент может быть измерен так же, как частное полезного активного значения мощности к общей (S=I*U). Для иллюстрации влияния фазового сдвига на косинус фи применяется прямоугольный треугольник мощностей. Катеты, образующие прямо угол, представляют реактивное и активное значение, гипотенуза – общее. Косинус выделенного угла равен частному активной и общей мощностей, то есть он является коэффициентом, демонстрирующим, какой процент от полной мощности требуется для нагрузки, имеющей место в данный момент. Чем меньший вес имеет реактивный компонент, тем больше полезная мощность.

Важно! Строго говоря, данный параметр полностью соответствует коэффициенту мощности только при идеально синусоидальном движении тока в электросети. Для получения максимально точной цифры требуется анализ искажений нелинейного характера, присущих переменным току и напряжению

В практических подсчетах эти искажения чаще всего игнорируют и полагают показатель cos fi примерно равным требуемому коэффициенту.

Треугольник мощностей

Коррекция коэффициента мощности

Коррекция коэффициента мощности при помощи конденсаторов

К ухудшению коэффициента мощности (непропорциональному потребляемому току относительно напряжения) приводят реактивная и нелинейная нагрузки. Реактивные нагрузки корректируется внешними реактивностями, именно для них определена величина cos φ.

Коррекция коэффициента мощности ((англ. power factor correction) PFC) — процесс приведения потребления конечного устройства, обладающего низким коэффициентом мощности при питании от силовой сети переменного тока, к состоянию, при котором коэффициент мощности соответствует принятым стандартам.

Технически реализуется в виде той или иной дополнительной схемы на входе устройства.

Данная процедура, необходимая для равномерного использования мощности фазы и исключения перегрузки нейтрального провода трёхфазной сети, обязательна для импульсных источников питания мощностью в 100 и более ватт[источник не указан 2721 день]. Компенсация обеспечивает отсутствие всплесков тока потребления на вершине синусоиды питающего напряжения и равномерную нагрузку на силовую линию.

Разновидности коррекции коэффициента мощности


  • Коррекция реактивной составляющей полной мощности потребления устройства. Выполняется путём включения в цепь реактивного элемента, производящего обратное действие. Например, для компенсации действия электродвигателя переменного тока, обладающего высокой индуктивной реактивной составляющей полной мощности, параллельно цепи питания включается конденсатор.
  • Коррекция нелинейности потребления тока в течение периода колебаний питающего напряжения. Если нагрузка потребляет ток непропорционально основной гармонике питающего напряжения, для повышения коэффициента мощности требуется схема пассивного (PPFC) или активного корректора коэффициента мощности (APFC). Простейшим пассивным корректором коэффициента мощности является дроссель с большой индуктивностью, включенный последовательно с питаемой нагрузкой. Дроссель выполняет сглаживание импульсного потребления нагрузки и выделение низшей, то есть основной, гармоники потребления тока, что и требуется.

Мгновенная мощность

Этот показатель имеет непосредственное отношение к выделению энергии и к механической работе: то есть к тем явлениям, которые имеют инерционный характер. Применяется он исключительно для расчетов. В оценке расчетов различных показателей электрических сетей применяются также действующие значения силы тока и напряжения.

Измерительные приборы, знакомые со школьной скамьи — вольт- и амперметр — предназначены для измерения этих значений. Такой показатель, как полная мощность, по сути представляет собой произведение действующих силы тока и напряжения: достаточно их лишь перемножить.

Гармонические искажения

В настоящее время большая часть бытовой техники является для электросети нелинейной нагрузкой.
Телевизоры, компьютеры, мониторы, муз. центры, адаптеры, зарядные устройства, энергосберегающие лампочки и многие другие бытовые приборы
имеют выпрямитель или импульсный блок питания, искажающий форму тока.
В результате, дополнительно к основной частоте 50 гц, в сети появляются высшие кратные гармоники — 100 гц, 150 гц, 200 гц, 250 гц и.т.д…
Высшие гармоники тока на активной нагрузке выделяют активную мощность, но энергетически не связаны с источником (генератором)
и являются потерями для энергосистемы.
Мощность высших гармоник, как и реактивная, будет рассеиваться на активном сопротивлении проводов, кабелей,
трансформаторов и линий электропередач в виде тепла и других негативных явлений в силовых установках сети (паразитный резонанс, вихревые токи и.т.д…).
Коэффициент мощности для нелинейных нагрузок определится из коэффициента гармоник соотношением:

DPF (Distortion Power Factor) — это тот же PF, но только для гармонических искажений, без учёта сдвига фаз.
THD (Total Harmonic Distortion) — коэффициент гармоник,
равный отношению суммы квадратов тока или напряжения высших гармоник к квадрату тока (напряжения) основной гармоники.

В этом случае коэффициент мощности можно выразить, как отношение действующего значения тока основной гармоники
к действующему значению тока в нагрузке.

Многие бытовые потребители снабжены симисторным регулятором мощности,
который не только вносит гармонические искажения тока, но и сдвигает фазу основной гармоники тока, что приводит к дополнительным (фазовым) потерям.
То есть, в таких случаях, коэффициент мощности определится не только коэффициентом искажений, но и сдвигом фазы основной гармоники.

Здесь cosφ1 — косинус угла сдвига фазы тока основной (первой) гармоники относительно напряжения сети.

Современные пылесосы и стиральные машины с симисторными регуляторами оборотов вносят весь комплекс искажений тока по причине наличия электродвигателя,
как реактивной составляющей в нагрузке.
Тогда угол сдвига фаз для основной гармоники в расчётах увеличится с учётом общего сдвига тока индуктивностями обмоток двигателя.

Более существенные гармонические искажения в электросети возникают при использовании мощных сварочных преобразователей — инверторов,
которые могут искажать не только форму тока, но и напряжения в сети.
А это внесёт дополнительные потери мощности для всех других потребителей этой сети.

В общем случае для любых нагрузок, независимо от степени искажений и угла сдвига фаз, коэффициент мощности PF можно определить, как соотношение P/S,
вычислив активную P и полную S мощности интегрированием тока и напряжения во времени,
которое способны произвести современные цифровые измерительные приборы на основе микроконтроллеров.

Потребляемая (активная) мощность P — это среднее значение мощности в нагрузке за период,
т.е среднеарифметическое всех мгновенных значений UI.
Полная мощность — это произведение среднеквадратичных значений напряжения сети и тока нагрузки.
Тогда коэффициент мощности вычисляется следующим образом:

В целях компенсации гармонических искажений, в электрические потребители, содержащие нелинейные элементы в силовых цепях,
устанавливают специальные Корректоры Коэффициента Мощности (ККМ) — Power Factor Correction (PFC),
которые могут быть как пассивными (фильтры L или LC), так и активными.
Активные PFC — это преобразователи, способные приблизить форму тока в нагрузке к синусоидальной,
тем самым устранив (по возможности) высшие гармоники из общего спектра колебаний тока.

Замечания и предложения принимаются и приветствуются!

Помогла ли вам статья?

Задать вопрос

Пишите ваши рекомендации и задавайте вопросы в комментариях

Компенсация реактивной мощности в сетях напряжением 6.3-10.5/0,4 кВ | Публикации

Причины необходимости компенсации реактивной мощности у потребителя электроэнергии. Некоторые аспекты применения коэффициентов мощности cos φ и реактивной мощности tg φ. Особенности компенсации реактивной мощности в сетях напряжением 6.3-10.5/0,4 кВ.

Выработка, передача и потребление электроэнергии переменного тока сопряжено с решением ряда проблем и ключевой из них можно смело считать проблему компенсации реактивной мощности. В сетях переменного тока de facto потребителями реактивной мощности являются, как звенья самой сети (линии электропередачи, трансформаторы подстанций, шунтирующие реакторы и т.д.), так и все без исключения приемники электроэнергии, причем львиную долю реактивной мощности (порядка 60%) потребляют асинхронные двигатели сетей среднего и низкого напряжения, около четверти всей реактивной мощности приходится на трансформаторы разного назначения, в том числе трансформаторы понижающих подстанций и одну десятую часть делят между собой приемники, использующие для запуска и работы переменное магнитное поле (индукционные печи, выпрямители и т.д.).

Генераторы электростанций в нормальном режиме работы вырабатывают активную мощность, в режиме перевозбуждения — реактивную мощность в объемах от 20% до 70% от средней потребности в реактивной мощности распределительных сетей, понижающих подстанций и приемников электроэнергии у потребителей. Также незначительная доля потребности в реактивной мощности компенсируется емкостью воздушных и кабельных линий, но все это в совокупности не решает и даже отчасти усугубляет проблему дефицита реактивной мощности и вызываемых этим негативных последствий, поскольку транспорт реактивной мощности от генераторов электростанций:

  • снижает объемы передаваемой активной мощности, около 10% которой и так теряется в различных звеньях сетей разного напряжения;
  • значительно повышает риски перегрева линий электропередач; перегружает трансформаторы подстанций более высокого уровня;
  • уменьшает число оптимальных для подключения к сети потребителей;
  • приводит к падению сетевого напряжения и ухудшению качества передаваемой электроэнергии.

По этим причинам в РД 34.20.185-94 «Инструкция по проектированию городских электрических сетей» (п. 5.2.9), «Методических указаниях по проектированию развития энергосистем» Минпромэнерго (п. 5.36.3), «Правилах технической эксплуатации электрических станций и сетей Российской Федерации» Минэнерго РФ (п. 6.3.16) и ряде других нормативно-правовых актов определена необходимость использования устройств компенсации реактивной мощности у потребителей, что снижает объемы перетоков мощности и в целом увеличивает пропускную способность сетей различного напряжения.

Некоторые аспекты применения коэффициентов мощности cos φ и реактивной мощности tg φ.

В «Приложении к Порядку расчета значений соотношения потребления активной и реактивной мощности для отдельных энергопринимающих устройств (групп энергопринимающих устройств) потребителей электрической энергии, применяемых для определения обязательств сторон в договорах об оказании услуг по передаче электрической энергии (договоры энергоснабжения)» (Приказ №49 Минпромэнерго России от 22 февраля 2007 года) определены предельные значения коэффициентов мощности cos φ и реактивной мощности tg φ в зависимости от точки присоединения потребителя к распределительной сети.

Положение точки присоединения потребителя к электрической сети tgφ cosɸ
Напряжением 110 кВ (154 кВ) 0.5 0.9
Напряжением 35 кВ (60 кВ) 0.4 0.93
Напряжением 6-20 кВ 0.4 0.93
Напряжением 0,4 кВ 0.35 0.94

При аудите электрической распределительной сети или сегмента электрической сети, находящегося в балансовой принадлежности потребителя может использоваться, как коэффициент мощности cos φ, определяемый отношением активной мощности к полной мощности, так и коэффициент реактивной мощности tg φ, численно равный отношению реактивной к активной мощности. Вместе с тем таблица ниже демонстрирует недостаточность коэффициента мощности cos φ для точной оценки потребности в потреблении реактивной мощности.

Таблица. Значение реактивной мощности (РМ) в процентах от активной мощности при разных значениях коэффициентов мощности cos φ
cos φ 1.0 0.99 0.97 0.95 0.94 0.92 0.9 0.87 0.85 0.8 0.7 0.5 0.316
tg φ 0.0 0.14 0.25 0.33 0.36 0.43 0.484 0.55 0.60 0.75 1.02 1.73 3.016
РМ,% 0.0 14 25 33 36 43 48.4 55 60 75 102 173 301.6

Из данных таблицы видно, что даже при высоких значениях коэффициента мощности cos φ = 0.95 электроприемниками/звеньями электрической сети потребляется реактивная мощность величиной в 33% от активной мощности, а уже при значении коэффициента мощности cos φ = 0.7 объемы потребляемой активной и реактивной мощности сравниваются. Поэтому более целесообразно выполнять оценку распределительной сети/сегмента сети в балансовой принадлежности потребителя по коэффициенту реактивной мощности tg φ, показывающему реальный баланс активной и реактивной мощности.

Особенности компенсации реактивной мощности в сетях напряжением 6.3-10.5/0,4 кВ

Целесообразность компенсации реактивной мощности для потребителя можно рассматривать, как в техническом, так и экономическом аспектах. В случае подключения потребителя к распределительной сети 6,3 (10,5) кВ конденсаторные установки могут интегрироваться на подстанции в балансовой принадлежности электросетевой компании и тогда потребитель будет иметь чисто техническую выгоду от качества получаемой электроэнергии. При установке КРМ 6,3 (10,5) кВ (или УКРМ 6,3 (10,5) кВ) на шинах РУ 6,3 (10,5) кВ предприятия, или на шинах РУ цеховых ТП 6-10/0,4 кВ, шинах первичных цеховых РП 0,4 кВ, а также непосредственно у электроприемников, потребитель будет иметь, как техническую, так и экономическую выгоду за счет возможности использования активной мощности в более полном объеме и соответственно снижения затрат на «балластную» реактивную мощность.

Microsoft Word — тит-электрон.doc

%PDF-1.5 % 1 0 obj > endobj 5 0 obj >> endobj 2 0 obj > stream 2017-01-30T08:30:35+03:00PScript5.dll Version 5.2.22017-01-30T08:32:34+03:002017-01-30T08:32:34+03:00Acrobat Distiller 10.1.1 (Windows)application/pdf

  • Microsoft Word — тит-электрон.doc
  • natasha
  • uuid:dae228c3-7a6c-4964-b1da-68336eda2a7buuid:3ddc2126-2538-44ce-adac-deabf4155032 endstream endobj 3 0 obj > endobj 4 0 obj > endobj 6 0 obj > endobj 7 0 obj > endobj 8 0 obj > endobj 9 0 obj > endobj 10 0 obj > endobj 11 0 obj > endobj 12 0 obj > endobj 13 0 obj > endobj 14 0 obj > endobj 15 0 obj > endobj 16 0 obj > endobj 17 0 obj > endobj 18 0 obj > endobj 19 0 obj > endobj 20 0 obj > endobj 21 0 obj > endobj 22 0 obj > endobj 23 0 obj > endobj 24 0 obj > endobj 25 0 obj > endobj 26 0 obj > endobj 27 0 obj > endobj 28 0 obj > endobj 29 0 obj > endobj 30 0 obj > endobj 31 0 obj > endobj 32 0 obj > endobj 33 0 obj /I 5 0 R /P 0 >> /Resources 156 0 R /Rotate 0 /Type /Page /Annots [157 0 R] >> endobj 34 0 obj /I 5 0 R /P 1 >> /Resources 159 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 35 0 obj /I 168 0 R /P 0 >> /Resources 169 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 36 0 obj /I 168 0 R /P 1 >> /Resources 171 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 37 0 obj /I 168 0 R /P 2 >> /Resources 173 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 38 0 obj /I 168 0 R /P 3 >> /Resources 175 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 39 0 obj /I 168 0 R /P 4 >> /Resources 177 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 40 0 obj /I 168 0 R /P 5 >> /Resources 179 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 41 0 obj /I 168 0 R /P 6 >> /Resources 181 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 42 0 obj /I 168 0 R /P 7 >> /Resources 183 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 43 0 obj /I 168 0 R /P 8 >> /Resources 185 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 44 0 obj /I 168 0 R /P 9 >> /Resources 187 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 45 0 obj /I 168 0 R /P 10 >> /Resources 189 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 46 0 obj /I 168 0 R /P 11 >> /Resources 191 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 47 0 obj /I 168 0 R /P 12 >> /Resources 193 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 48 0 obj /I 168 0 R /P 13 >> /Resources 195 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 49 0 obj /I 168 0 R /P 14 >> /Resources 197 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 50 0 obj /I 168 0 R /P 15 >> /Resources 199 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 51 0 obj /I 168 0 R /P 16 >> /Resources 201 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 52 0 obj /I 168 0 R /P 17 >> /Resources 203 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 53 0 obj /I 168 0 R /P 18 >> /Resources 205 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 54 0 obj /I 168 0 R /P 19 >> /Resources 207 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 55 0 obj /I 168 0 R /P 20 >> /Resources 209 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 56 0 obj /I 168 0 R /P 21 >> /Resources 211 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 57 0 obj /I 168 0 R /P 22 >> /Resources 213 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 58 0 obj /I 168 0 R /P 23 >> /Resources 215 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 59 0 obj /I 168 0 R /P 24 >> /Resources 217 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 60 0 obj /I 168 0 R /P 25 >> /Resources 219 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 61 0 obj /I 168 0 R /P 26 >> /Resources 221 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 62 0 obj /I 168 0 R /P 27 >> /Resources 223 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 63 0 obj /I 168 0 R /P 28 >> /Resources 225 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 64 0 obj /I 168 0 R /P 29 >> /Resources 227 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 65 0 obj /I 168 0 R /P 30 >> /Resources 229 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 66 0 obj /I 168 0 R /P 31 >> /Resources 231 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 67 0 obj /I 168 0 R /P 32 >> /Resources 233 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 68 0 obj /I 168 0 R /P 33 >> /Resources 235 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 69 0 obj /I 168 0 R /P 34 >> /Resources 237 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 70 0 obj /I 168 0 R /P 35 >> /Resources 239 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 71 0 obj /I 168 0 R /P 36 >> /Resources 241 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 72 0 obj /I 168 0 R /P 37 >> /Resources 243 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 73 0 obj /I 168 0 R /P 38 >> /Resources 245 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 74 0 obj /I 168 0 R /P 39 >> /Resources 247 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 75 0 obj /I 168 0 R /P 40 >> /Resources 249 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 76 0 obj /I 168 0 R /P 41 >> /Resources 251 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 77 0 obj /I 168 0 R /P 42 >> /Resources 253 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 78 0 obj /I 168 0 R /P 43 >> /Resources 255 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 79 0 obj /I 168 0 R /P 44 >> /Resources 257 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 80 0 obj /I 168 0 R /P 45 >> /Resources 259 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 81 0 obj /I 168 0 R /P 46 >> /Resources 261 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 82 0 obj /I 168 0 R /P 47 >> /Resources 263 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 83 0 obj /I 168 0 R /P 48 >> /Resources 265 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 84 0 obj /I 168 0 R /P 49 >> /Resources 267 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 85 0 obj /I 168 0 R /P 50 >> /Resources 269 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 86 0 obj /I 168 0 R /P 51 >> /Resources 271 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 87 0 obj /I 168 0 R /P 52 >> /Resources 273 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 88 0 obj /I 168 0 R /P 53 >> /Resources 275 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 89 0 obj /I 168 0 R /P 54 >> /Resources 277 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 90 0 obj /I 168 0 R /P 55 >> /Resources 279 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 91 0 obj /I 168 0 R /P 56 >> /Resources 281 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 92 0 obj /I 168 0 R /P 57 >> /Resources 283 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 93 0 obj /I 168 0 R /P 58 >> /Resources 285 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 94 0 obj /I 168 0 R /P 59 >> /Resources 287 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 95 0 obj /I 168 0 R /P 60 >> /Resources 289 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 96 0 obj /I 168 0 R /P 61 >> /Resources 291 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 97 0 obj /I 168 0 R /P 62 >> /Resources 293 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 98 0 obj /I 168 0 R /P 63 >> /Resources 295 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 99 0 obj /I 168 0 R /P 64 >> /Resources 297 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 100 0 obj /I 168 0 R /P 65 >> /Resources 299 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 101 0 obj /I 168 0 R /P 66 >> /Resources 301 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 102 0 obj /I 168 0 R /P 67 >> /Resources 303 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 103 0 obj /I 168 0 R /P 68 >> /Resources 305 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 104 0 obj /I 168 0 R /P 69 >> /Resources 307 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 105 0 obj /I 168 0 R /P 70 >> /Resources 309 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 106 0 obj /I 168 0 R /P 71 >> /Resources 311 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 107 0 obj /I 168 0 R /P 72 >> /Resources 313 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 108 0 obj /I 168 0 R /P 73 >> /Resources 315 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 109 0 obj /I 168 0 R /P 74 >> /Resources 317 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 110 0 obj /I 168 0 R /P 75 >> /Resources 319 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 111 0 obj /I 168 0 R /P 76 >> /Resources 321 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 112 0 obj /I 168 0 R /P 77 >> /Resources 323 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 113 0 obj /I 168 0 R /P 78 >> /Resources 325 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 114 0 obj /I 168 0 R /P 79 >> /Resources 327 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 115 0 obj /I 168 0 R /P 80 >> /Resources 329 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 116 0 obj /I 168 0 R /P 81 >> /Resources 331 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 117 0 obj /I 168 0 R /P 82 >> /Resources 333 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 118 0 obj /I 168 0 R /P 83 >> /Resources 335 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 119 0 obj /I 168 0 R /P 84 >> /Resources 337 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 120 0 obj /I 168 0 R /P 85 >> /Resources 339 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 121 0 obj /I 168 0 R /P 86 >> /Resources 341 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 122 0 obj /I 168 0 R /P 87 >> /Resources 343 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 123 0 obj /I 168 0 R /P 88 >> /Resources 345 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 124 0 obj /I 168 0 R /P 89 >> /Resources 347 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 125 0 obj /I 168 0 R /P 90 >> /Resources 349 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 126 0 obj /I 168 0 R /P 91 >> /Resources 351 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 127 0 obj /I 168 0 R /P 92 >> /Resources 353 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 128 0 obj /I 168 0 R /P 93 >> /Resources 355 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 129 0 obj /I 168 0 R /P 94 >> /Resources 357 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 130 0 obj /I 168 0 R /P 95 >> /Resources 359 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 131 0 obj /I 168 0 R /P 96 >> /Resources 361 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 132 0 obj /I 168 0 R /P 97 >> /Resources 363 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 133 0 obj /I 168 0 R /P 98 >> /Resources 365 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 134 0 obj /I 168 0 R /P 99 >> /Resources 367 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 135 0 obj /I 168 0 R /P 100 >> /Resources 369 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 136 0 obj /I 168 0 R /P 101 >> /Resources 371 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 137 0 obj /I 168 0 R /P 102 >> /Resources 373 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 138 0 obj /I 168 0 R /P 103 >> /Resources 375 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 139 0 obj /I 168 0 R /P 104 >> /Resources 377 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 140 0 obj /I 168 0 R /P 105 >> /Resources 379 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 141 0 obj /I 168 0 R /P 106 >> /Resources 381 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 142 0 obj /I 168 0 R /P 107 >> /Resources 383 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 143 0 obj /I 168 0 R /P 108 >> /Resources 385 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 144 0 obj /I 168 0 R /P 109 >> /Resources 387 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 145 0 obj /I 5 0 R /P 2 >> /Resources 389 0 R /Rotate 0 /Type /Page >> endobj 146 0 obj > stream HWn$W=pIQ ؀uA*ZH}菚O9KAUMgVx/j5%[email protected];_??6uwzpA K󆿝5~ z nx1\#b’/)»?X |ĝ*U| Q4>z{Noow’7O^(t;3m!-q+4mSq;@.~Fsqs1 3䮸JgG{8阝tP)V˃C+W6`WKc] aHJbyYa+҃3A

    03. Мощность, энергия и гравитация

    Примечание. Это многостраничная статья.
    Для навигации используйте раскрывающиеся списки и клавиши со стрелками вверху и внизу каждой страницы.

    Мощность

    Мощность, выраженная в ваттах, представляет собой скорость, с которой выполняется работа или расходуется энергия. В механической задаче мощность — это производная энергии или работы по времени. В данном контексте мощность — это мгновенное произведение силы, умноженной на расстояние, деленное на время :

    .
    (1) $ \displaystyle p = \frac{f\ d}{t}$
    Где:
    • p = Мощность, Вт.
    • f = сила, ньютоны
    • d = Водоизмещение, м
    • t = Время, секунды

    Поскольку $\rm{\frac{displacement}{time}}$ равно скорости, существует более полезная альтернативная форма приведенного выше уравнения:

    (2) $ \displaystyle p = f\ v$

    Где v = скорость в метрах в секунду.

    Я прошу моих читателей обратить внимание на уравнение (2), что для того, чтобы мощность была израсходована, должны быть и сила, и скорость , и сила должна быть приложена в направлении скорости.Статическая сила без скорости не требует мощности для поддержания себя, и скорость (включая скорость вращения) без силы также не требует мощности.

    Опять же, чтобы мощность расходовалась:
    • Сила и скорость должны присутствовать, и
    • Сила должна быть приложена в направлении скорости.

    Это определение может показаться чрезмерно строгим и подробным, но рассмотрим волчок — он обладает как силой (центростремительная сила, направленная под прямым углом к ​​его скорости), так и скоростью вращения, но для поддержания скорости не требуется никакой энергии (волчок только замедлиться, если присутствует трение).Причина в том, что направление силы находится под прямым углом к ​​направлению скорости .

    Энергия

    Энергия, выраженная в джоулях (или ватт-секундах), представляет собой мощность, умноженную на время. Это означает, что расход 100 ватт в течение 30 минут представляет собой расход энергии (100 x 30 x 60) 180 000 джоулей.

    Помните, что энергия всегда сохраняется .Если энергия затрачивается на поднятие тяжестей, энергия должна была иметь какую-то предыдущую форму (иногда даже в виде массы). Акт подъема массы представляет собой пример преобразования энергии (потенциальной в кинетическую энергию), и после подъема массы энергия, затраченная на ее подъем, остается в виде (а) гравитационной потенциальной энергии и (б) небольшого количества дополнительной энергии. масса.

    Поднятие массы

    Помните приведенное выше обсуждение — для подъема массы против силы тяжести требуется сила, а сила, применяемая во времени, требует энергии.Разница между мощностью и энергией — это идея исчисления (энергия — это временной интеграл мощности), но не обязательно разбираться в исчислении, чтобы понять эту идею. (Для тех, кто хочет изучить исчисление, нажмите здесь.)

    Мы решили поднять десятикилограммовую массу из предыдущего примера со стола на высокую полку на расстояние трех метров. Сначала мы вычислим требуемую энергию, а затем обсудим мощность по причине, которая станет очевидной.

    Для заданной массы м , высоты h , на которую нужно поднять массу, и ускорения свободного падения g , мы вычисляем количество энергии, называемое работой, или силу, умноженную на расстояние, в джоулях:

    (3) $W = мгх$

    Где:

    • Вт = механическая работа, или сила, умноженная на расстояние, энергия в джоулях
    • m = Масса, кг
    • г = Little-g, обсуждалось ранее
    • h = высота, на которую поднимается груз, м

    Чтобы поднять десятикилограммовую массу на три метра против силы тяжести, мы должны затратить столько энергии:

    (4) $W = mgh = 10 х 9.80665 \умножить на 3 = 294,1995\ \text{джоулей}$

    Давайте округлим до 294 Дж для следующего обсуждения. Хорошо, у нас есть полная необходимая энергия, но сколько энергии нужно? Помните, что мощность равна произведению силы на скорость (уравнение (2) выше), а энергия — это мощность, умноженная на время. Это означает, что все приведенные ниже решения будут работать :

    .
    • Мощность 294 Вт за одну секунду.
    • Степень 29.4 Вт в течение десяти секунд.
    • Мощность 2,94 Вт на 100 секунд.

    Помните об этой взаимосвязи между мощностью и энергией — небольшое количество энергии, затраченное в течение длительного времени, может выполнить ту же задачу, что и большое количество энергии за короткое время. Но во всех случаях необходимая энергия одинакова.

    Потенциальная и кинетическая энергия

    В простых механических системах энергия имеет две основные формы — потенциальную и кинетическую.Потенциальная энергия — это энергия положения или состояния — свернутая пружина, газ под давлением, книга на высокой полке. Кинетическая энергия — это энергия движения — летящая стрела, поднимаемый груз, спутник на орбите. Многие механические задачи оказываются описаниями преобразований энергии — потенциальной в кинетическую и обратно. И помните — независимо от деталей, энергия всегда сохраняется — она может изменяться в форме, но никогда не создается и не уничтожается.

    Вот подробное описание приведенной выше задачи о подъеме массы, выраженное в терминах энергии:

    • Допустим, под десятикилограммовой массой находится спиральная пружина, которая запасает механическую энергию, равную 294 Дж.{-15}\ \text{килограммы}$

    Этот расчет показывает, что энергия, эквивалентная увеличению массы пружины, составляет чуть более трех фемтограммов, что примерно равно массе пяти бактерий кишечной палочки.

  • В нулевое время пружина освобождается и расходует свои 294 джоуля энергии, поднимая десятикилограммовую массу на три метра.

    Потенциальная энергия пружины становится кинетической энергией, энергией движения.

    Время, которое занимает это движение, не имеет значения — как объяснялось выше, это может быть доля секунды или много минут. Вопрос только в том, будет ли затрачена полная механическая энергия в 294 Дж.

  • Пружина достигает полной высоты, и масса откладывается на высокой полке.

    То, что было механическим напряжением в пружине, стало кинетической энергией во время подъема, а то, что было кинетической энергией, теперь стало гравитационной потенциальной энергией в массе, сидящей на полке.Масса теперь имеет энергетически эквивалентное увеличение массы — 3,27 фемтограмма — которое было потеряно пружиной.

  • Восхождение на холм

    Автомобиль должен преодолевать уклон с определенной скоростью. Мы будем использовать методы, описанные выше, чтобы определить, сколько лошадиных сил необходимо для достижения заданной скорости набора высоты. Вот подробности:

    Рисунок 2: Диаграмма наклона

    • Масса автомобиля м : 3000 кг
    • Уклон холма (подъем/спуск): 0.{-1}(подъем/разбег)$ = 6,84°
    • Требуемая скорость v : 15 м/с (54 км/ч).

    Уведомление о номенклатуре. Склоны холмов иногда выражаются в процентах уклона, где значение равно:

    .
    (7) $ \displaystylegrade\ \% = 100 \frac{rise}{run}$

    Используя эту номенклатуру, наш уклон холма 0,12 можно описать как уклон 12%.{-1} \left(\frac{grade}{100} \right)$.

    При подъеме на уклон мы испытываем меньшую гравитационную силу, чем при вертикальном подъеме. Таким образом, уравнение силы для этого случая представляет собой уравнение силы $f = m\g$, модифицированное углом наклона φ:

    (9) $ \displaystyle f = m\ g\ sin(\phi)$

    Где:

    • f = сила, ньютоны
    • m = Масса, кг
    • г = Little-g, описанный ранее
    • φ = угол наклона

    Теперь, когда мы знаем, как рассчитать силу, мы можем найти мощность, необходимую для достижения желаемой скорости 15 м/с.На предыдущей странице мы узнали, что мощность равна произведению силы на скорость, поэтому:

    (10) $ \displaystyle p = f\ v = m\ g\ sin(\phi)\ v = 3000 \times 9,80665 \times sin(6,84°) \times 15 = 52 578,69\ \text{ватт}$
    Чтобы перевести ватты в лошадиные силы, мы делим на 746 (хотя есть много других возможных значений):
    52 578,69 Вт / 746 = 70,48 лошадиных сил.

    Мощность против энергии

    Мы определили мощность, необходимую для поддержания определенной скорости при подъеме по склону, теперь мы вычислим энергию, необходимую для подъема на определенное расстояние.Допустим, склон тянется на два километра — сколько энергии требуется для его подъема?

    Помните, что энергия – это мощность, умноженная на время. Также помните, что одна и та же энергия может быть результатом применения низкого уровня мощности в течение длительного времени или высокого уровня мощности в течение короткого времени. Но, возможно, более важно то, что требуемая энергия не зависит от деталей холма, склона или продолжительности времени, а зависит только от вертикальной высоты, на которую поднимается масса. Все, что нам нужно знать, это вертикальное расстояние подъема и массу.

    Мы знаем, что автомобиль проехал расстояние d в два километра вверх по уклону, имеющему угол φ, равный 6,84° (см. рис. 2 выше). Преобразуем это расстояние в высоту по вертикали h :
    (11) $ \displaystyle h = d\ sin(\phi) = 2000 \times sin(6,84°) = 238,19\ \text{meters}$
    Теперь мы можем применить уравнение (11) для вычисления требуемой работы (силы, умноженной на расстояние). Напомним, что автомобиль имеет массу м 3000 килограммов:
    (12) $ \displaystyle W = mgh = 3000 \times 9.80665 \умножить на 238,19$ = 7,01 мегаджоулей

    Примечание. Это многостраничная статья.
    Для навигации используйте раскрывающиеся списки и клавиши со стрелками вверху и внизу каждой страницы.

    Норма L-тангенса

    Норма L-тангенса Подразделы
    В этом разделе мы представляем один из наших вкладов, касающихся подгонки поверхности диапазона. Эта работа была впервые опубликована в (31).Как было представлено ранее, подгонка поверхности диапазона обычно достигается путем минимизации сложной функции стоимости, которая включает два члена: член согласия и член регуляризации. Компромисс между этими двумя терминами контролируется так называемым параметром регуляризации. Для автоматического определения правильного значения этого гиперпараметра можно использовать множество подходов. Некоторые из них, такие как перекрестная проверка, являются очень общими. Мы уже рассмотрели их в разделе 3.2.2. Некоторые другие более специфичны в том смысле, что они были разработаны для работы с типом функции затрат, рассматриваемым в этом разделе, i.е. сочетание термина данных и термина регуляризации. Это случай подхода L-кривой (который будет подробно описан далее в этом разделе). Однако все эти методы не являются полностью удовлетворительными. Действительно, методы, основанные на перекрестной проверке, обычно страдают вычислительной сложностью. L-кривая более эффективна с точки зрения вычислительной нагрузки, но результирующий критерий трудно минимизировать в том смысле, что обычно имеется много локальных минимумов. Поэтому мы предлагаем новый критерий для настройки параметра регуляризации в контексте аппроксимации поверхности диапазона.Мы назвали этот новый критерий L-Tangent Norm ( LTN ). Несмотря на эмпирические данные, LTN дает разумные результаты при гораздо меньших вычислительных затратах.

    Этот раздел организован следующим образом. Во-первых, мы даем дополнительную информацию о монтаже поверхности диапазона. В частности, мы даем подробную информацию о члене энергии изгиба для модели B-сплайна. Во-вторых, мы рассмотрим еще один критерий выбора гиперпараметров: критерий L-кривой. В-третьих, мы представляем наш новый критерий: L-касательную норму.Наконец, мы заключаем некоторые экспериментальные результаты как на синтетических, так и на реальных данных.

    Общие положения

    Основные строительные блоки аппроксимации поверхности полигона были представлены во вводном примере раздела 4.1.3. В этом разделе мы также используем модель B-сплайна для представления поверхности. Мы используем тот же принцип, что и во вводном примере. Однако мы используем несколько иной способ записи:
    (4.9)

    куда термин данных, который измеряет несоответствие между подобранной поверхностью и данными, и — термин энергии изгиба, который измеряет, насколько «гладкой» является поверхность.Кроме того, параметр регуляризации репараметризуется так, что он лежит в пределах, а не . Если мы обозначим через параметрическая модель поверхности, то имеем:
    куда является областью определения поверхности диапазона. Его можно выбрать, например, как ограничивающую рамку точек данных. Поскольку это B-сплайн тензорного произведения, его можно записать в виде линейной комбинации контрольных точек, , т.е. :
    (4.12)

    куда — вектор, определяемый (с ):
    (4.13)

    Следовательно, член данных можно записать в матричной форме:
    (4.14)

    куда матрица такая, что а также получается путем суммирования глубины точек данных, т.е. . Термин изгиба также может быть записан как квадрат нормы некоторого вектора. Одним из простых способов сделать это было бы аппроксимировать член энергии изгиба уравнения (4.11) путем дискретизации интеграла по регулярной сетке:
    (4.15)

    Поскольку вторые производные B-сплайна также линейны относительно контрольных точек, аппроксимация уравнения (4.15) представляет собой сумму квадратов членов, линейных относительно параметров. Несмотря на то, что этот подход эффективен на практике, есть лучший способ записать член энергии изгиба в виде квадрата нормы вектора. Действительно, мы показали, что можно получить точную формулу для энергии изгиба формы:
    (4.16)

    куда это матрица, которую мы называем матрицей изгиба . Подробная информация о расчетах матрицы изгиба будет приведена в разделе 4.2.1.2. А пока предположим, что матрица существует. Учитывая все предыдущие элементы, начальная задача минимизации уравнения (4.9) эквивалентна следующей линейной задаче минимизации методом наименьших квадратов в матричной форме:
    (4.17)

    Решение этой задачи дается с помощью, например, нормальных уравнений.Для заданного параметра регуляризации , получаем, что:
    (4.18)


    Матрица изгиба В этом разделе мы покажем, как матрица изгиба можно вывести и практически вычислить. Насколько нам известно, практическое вычисление матрицы изгиба не может быть найдено в литературе. Для простоты сначала рассмотрим случай одномерного и скалярного B-сплайна. По тем же причинам мы также ограничиваем этот раздел однородными кубическими B-сплайнами, которые являются разновидностью B-сплайнов, наиболее часто используемой в этой диссертации.Позвольте быть B-сплайном с последовательностью узла . Мы рассматриваем энергию изгиба в области естественного определения B-сплайна, , т.е. :
    (4.19)

    Интегральная энергия изгиба может быть разделена на каждом интервале узла, и, следовательно, уравнение (4.19) может быть переписано как:
    (4.20)

    Как мы видели в разделе 2.3.2.3, B-сплайн может быть записан как:
    (4.21)

    где четыре функции (для ) — части базисных функций B-сплайна. Функции и были определены в разделе 2.3.2.3. Аналогичные обозначения возможны для производных B-сплайна:
    (4.22)

    где ширина интервала узла ( т.е. для всех ). Функция является производной -го порядка функции (для ). В частности, для вторых производных () имеем:
    Напоминание.
    Вот формула, которая будет полезна для вычисления матрицы изгиба: интегрирование путем подстановки. Его дают:
    (4.27)

    Фактический расчет.
    Теперь мы вычисляем т. е. энергия изгиба B-сплайна на узловом интервале .

    куда матрица определяется как:

    (4.44)

    Матрица изгиба для энергии изгиба по всей области естественного определения получается путем суммирования матрицы изгиба для интервалов в один узел.Следовательно, если мы определим матрицу изгиба как:

    (4.45)

    тогда энергия изгиба определяется выражением:
    (4.46)

    Обратите внимание, что на практике обычно не требуется явно вычислять квадратный корень матрицы . Это связано с тем, что обычно это форма который используется в практических расчетах.

    Матрица изгиба интересна по нескольким причинам.Конечно, хорошо иметь точную формулу энергии изгиба, которую можно легко интегрировать в линейную задачу оптимизации методом наименьших квадратов. Кроме того, матрица изгиба, определенная в уравнении (4.45), является разреженной матрицей. Конечно, является семидиагональной симметричной матрицей. Такая структура разреженности позволяет использовать эффективные алгоритмы оптимизации. Последнее интересное свойство этой матрицы изгиба заключается в том, что она обычно намного меньше, чем матрица, которая возникла бы при использовании аппроксимации уравнения (4.15). Конечно, является матрицей . При приближенной формуле результирующая матрица обычно имеет гораздо больше строк (это зависит от мелкости сетки, используемой для дискретизации интеграла).

    Двумерный случай.
    Теперь мы выводим точную формулу для члена энергии изгиба для двумерного сплайна. Этот вывод следует тому же принципу, что и для одномерного случая. Пусть — однородный кубический тензор-произведение двумерного B-сплайна с узлами по направлению и по направлению.Энергия изгиба, обозначаемая , определяется по формуле:
    (4.47)

    Как и в одномерном случае, член энергии изгиба по всей области естественного определения может быть разделен на каждую узловую область:
    (4.48)

    куда — энергия изгиба B-сплайна над узловой областью . Энергия изгиба можно дополнительно разделить на три члена:
    Мы дадим подробности вычисления только для первого члена в уравнении (4.49), так как два других члена вычисляются почти одинаково. Но перед этим определим несколько другие обозначения. Как объяснялось в разделе 2.3.2.5, двумерный B-сплайн можно записать как:
    (4.49)

    куда , — геометрическая матрица (определенная в уравнении (2.99)), и является вектором определяется как функция свободной переменной:
    (4.50)

    Частные производные двумерного сплайна можно записать аналогичным образом:
    (4.51)

    куда является производной th-го порядка вектора . Вдоль направления эти векторы задаются формулой:
    где ширина узла узла вдоль направления ( т.е. для всех ). Эти формулы идентичны для направления, для которого заменяется , ширина интервала узла вдоль направления.
    Фактический расчет.
    Первый срок .

    Второй и третий сроки .
    Второй и третий термины вычисляются аналогично первому члену.Получаем следующие формулы:
    Энергия изгиба над одним доменным узлом.
    Следовательно, точная формула для энергии изгиба над узловой областью является:
    Изгибающая энергия во всей естественной области определения.
    Наконец, энергия изгиба для всей области естественного определения:
    В двумерном случае матрица изгиба имеет аналогичные свойства, чем матрица изгиба в одномерном случае. В частности, матрица еще мало; хотя его модель разреженности немного сложнее.Действительно, он состоит из 7 диагоналей блоков, каждый из которых представляет собой семидиагональную матрицу. Это показано на рисунке 4.12.
    Рисунок 4.12: Разреженная структура матрицы изгиба двумерных B-сплайнов. Обратите внимание, что все блоки представляют собой семидиагональные матрицы, но не все они идентичны друг другу. Вся матрица изгиба симметрична, как и отдельные семидиагональные блоки.


    Критерий L-кривой Критерий L-кривой — это критерий, используемый для автоматического определения параметра регуляризации в обратной задаче.Впервые он был представлен в (109). Этот критерий не является таким общим, как критерии, рассмотренные в разделе 3.2.2. Действительно, он специально разработан для определения только одного типа гиперпараметра (параметра регуляризации) в особом контексте функции стоимости по методу наименьших квадратов. Заинтересованный читатель может найти обширный обзор критерия L-кривой, например, в (93,124,92,157).

    Основная идея критерия L-кривой состоит в том, чтобы найти компромисс между недообучением и переоснащением.Напоминаем читателю, что — вектор решения контрольных точек задачи (4.17) при заданном параметре регуляризации . Позволять – норма невязки и пусть быть нормой раствора 4.7 . В ситуации недообучения ожидается, что норма решения будет небольшой, а норма невязки, вероятно, будет большой. Наоборот, в ситуации переобучения норма решения, вероятно, велика, а норма невязки должна быть малой. Чтобы найти компромисс между этими двумя патологическими ситуациями, принцип критерия L-кривой состоит в том, чтобы построить норму невязки и решение относительно друг друга.Точнее, это логарифм нормы невязки и нормы решения, которые нанесены друг против друга. Это позволяет быть инвариантным к масштабу. Полученная кривая называется L-кривой. Если мы отметим а также две функции такие, что а также , то L-кривая представляет собой набор:

    (4.63)

    Название L-кривая происходит от обычной формы этой кривой. Действительно, оно часто напоминает букву Л. Крайние значения L соответствуют ситуациям недообучения и переобучения.Компромисс, выбранный с помощью критерия L-кривой, соответствует углу L. Этот угол часто выбирается вручную путем фактического построения L-кривой. Можно сделать этот подход автоматическим, сказав, что угол L — это точка кривой, имеющая наибольшую кривизну. Пусть кривизна L-кривой:
    (4.64)

    где символы и обозначают соответственно первую и вторую производные функций, к которым она применяется.Таким образом, критерий L-кривой определяется как:
    (4.65)

    Пример L-кривой показан на рисунке 4.13. На рис. 4.13 также показан типичный аспект критерия L-кривой. В этом примере L-кривая на самом деле имеет форму буквы L. В этом случае критерий L-кривой хорошо определен в том смысле, что его максимум действительно соответствует хорошему параметру регуляризации.

    Рисунок 4.13: (а) Пример L-образной кривой, имеющей типичную форму буквы L.Крайние значения L соответствуют наихудшим случаям: недообучению и переоснащению. (б) Кривизна L-кривой, показанной на (а). Наибольшая кривизна соответствует параметру регуляризации, определяемому с помощью критерия L-кривой.
    (а) (б)
    Однако выбор параметра регуляризации с помощью критерия L-кривой не всегда так прост. Действительно, L-кривая часто плохо определена в том смысле, что на ней много локальных максимумов.Это проблема, если нам нужен полностью автоматический подход к выбору параметра регуляризации. Кроме того, когда значения максимумов близки друг к другу, не всегда ясно решить, какой локальный максимум лучший (это не обязательно самый высокий : это может быть один самый высокий). Эта патологическая ситуация проиллюстрирована на рисунке 4.14.
    Рисунок 4.14: Пример патологического случая для критерия L-кривой.
    (а) (б)
    L-Tangent Norm ( LTN ) — это новый критерий, который мы разработали для выбора параметра регуляризации при подгонке поверхности диапазона.Отчасти оно было вдохновлено идеей «устойчивости», развитой в (151). Он также зависит от L-кривой.

    Предлагаемый критерий

    Одна вещь, которую легко заметить при работе с L-кривыми, заключается в том, что их параметризация неравномерна. В частности, можно заметить, что существует диапазон значений, для которых норма касательного вектора значительно меньше, чем где-либо еще. Наш новый критерий основан на этом наблюдении. Параметр регуляризации выбирается таким, при котором норма касательной к L-кривой минимальна.Интуитивно понятно, что такой параметр регуляризации — это тот, для которого небольшое изменение параметра регуляризации оказывает наименьшее влияние на компромисс между качеством подгонки и гладкостью поверхности.

    Критерий нормы L-тангенса ( LTN ) может быть записан как:


    а также являются производными по нормированным нормам невязки и решения:
    (4.68)

    для малая положительная константа (, например).

    Свойства L-касательной нормы

    Типичный пример критерия нормы L-тангенса показан на рисунке 4.15. Даже если наш критерий не является выпуклым, он достаточно непрерывен и гладок, чтобы сделать его интересным с точки зрения оптимизации. Более того, если пренебречь значениями, очень близкими к 1, наш критерий часто имеет единственный минимум, чего нельзя сказать о критерии L-кривой.

    Рисунок 4.15: Пример критерия L-касательной нормы. (а) Исходная поверхность.(б) Исходная поверхность, отобранная по набору из 500 точек с аддитивным нормально распределенным шумом. (c) Критерий L-касательной нормы. (d) Реконструированная поверхность с использованием оптимального параметра регуляризации, найденного с помощью LTN .

    Иногда бывает так, что есть два минимума. В таких случаях кажется, что эти два локальных минимума имеют смысл. Меньший (, т.е. глобальный минимум) соответствует параметру регуляризации, дающему лучшее из двух «объяснений» данных.Второй появляется, когда данные содержат, например, много мелких колебаний. В этом случае непонятно (даже для человека), должна ли поверхность интерполировать данные или аппроксимировать их, рассматривая колебания как некий шум. Эта ситуация проиллюстрирована на рисунке 4.16.

    Рисунок 4.16: Пример критерия LTN с двумя значимыми минимумами. (а) Исходная поверхность, содержащая множество мелких колебаний.(b) Критерий L-касательной нормы представляет два минимума (исключая тот, который достигается при значении, близком к 1). (c) Реконструированная поверхность с использованием первого минимума ( ). (d) Реконструированная поверхность с использованием второго минимума ( ).

    Оценка критерия LTN требует только вычисления производных невязки и нормы решения. Благодаря этому наш новый критерий вычисляется быстрее, чем, например, перекрестная проверка. В частности, наш критерий позволяет сократить время вычислений, когда поверхностная модель приводит к разреженным матрицам коллокации и регуляризации (как в случае с B-сплайновой моделью).Это невозможно при перекрестной проверке, потому что матрица влияния, как правило, не является разреженной.

    Другое преимущество критерия LTN состоит в том, что он по-прежнему будет эффективен с нелинейной моделью поверхности. В то время как для перекрестной проверки требуется неитерационная формула для достижения приемлемого времени вычислений (которое не обязательно существует для таких моделей поверхности), наш критерий просто требует вычисления невязки и норм решения.

    Данные

    Синтетические данные.
    Данные первого типа, которые мы использовали в этих экспериментах, генерируются путем взятия выборочных точек (с добавленным шумом) поверхностей, определяемых следующим образом:
      (4.69)
      (4.70)
      (4.71)

    куда выбираются случайным образом в и где случайно выбираются в . Примеры сгенерированных поверхностей приведены на рисунке 4.17.
    Рис. 4.17: Примеры случайно сгенерированных поверхностей для экспериментов.
    Реальные данные.
    Второй тип данных, которые мы использовали в этих экспериментах, — это реальные карты глубины, полученные с помощью средств стереоизображения. На рис. 4.18 показаны данные. Изображения дальности, которые мы использовали в этих экспериментах, большие: их размер примерно пикселей. Поэтому с подходом, представленным в этом разделе, сложно (даже невозможно) реконструировать поверхность по исходным наборам данных.По этой причине изображения диапазонов были субдискретизированы по регулярной сетке размера . Однако изображение с полным разрешением используется при сравнении реконструированной поверхности с исходным набором данных.
    Рисунок 4.18: Данные о реальном диапазоне, использованные в экспериментах этого раздела (любезно предоставлены Тоби Коллинзом). Верхний ряд: данные, представленные в виде текстурированной 3D-поверхности. Нижний ряд: те же данные, что и в верхнем ряду, но представленные картами глубины.

    Время вычислений

    Однобалльная оценка.
    Мы намерены сравнить время вычисления оценки для одного значения параметра регуляризации оценки перекрестной проверки и нормы L-тангенса. Для этого мы берем поверхность и пробуем ее для нескольких точек. Времена, представленные на рисунке 4.19, были получены с помощью функции cputime в Matlab и для (произвольного) параметра регуляризации. . Обратите внимание, что синхронизация для каждого отдельного количества точек повторялась несколько раз, чтобы получить стабильные результаты.Неудивительно, что на рисунке 4.19 показано, что оценка для одной точки с L-касательной нормой выполняется намного быстрее, чем с перекрестной проверкой. Это происходит из-за того, что для вычисления оценки перекрестной проверки требуется инверсия матрицы, в то время как в вычислении L-касательной нормы участвуют только умножения между разреженными матрицами и векторами.
    Рисунок 4.19: Сравнение времени вычисления перекрестной проверки и нормы L-тангенса для оценки критериев при одном значении.(a) График как для перекрестной проверки, так и для критериев L-Tangent Norm. (b) Соотношение временных интервалов (временные интервалы перекрестной проверки, разделенные на временные интервалы L-Tangent Norm).
    (а) (б)
    Оптимизация критерия.
    В этом эксперименте нас интересует время вычисления всего процесса оптимизации как для L-касательной нормы, так и для перекрестной проверки.Мы взяли 300 примеров случайно сгенерированных поверхностей, известных благодаря зашумленной выборке. Процесс оптимизации перекрестной проверки выполняется с использованием поиска по золотому сечению (реализованного в функции fminbnd Matlab). Результаты показаны на рисунке 4.20. Как и в предыдущем эксперименте, оптимизация нормы L-тангенса происходит быстрее, чем при перекрестной проверке.
    Рисунок 4.20: Время вычислений, необходимое для оптимизации нормы L-тангенса и перекрестной проверки.
    Реконструкция целых поверхностей.
    На рис. 4.21 показано время вычислений, необходимое для решения всей задачи реконструкции поверхности с тремя изображениями дальности, представленными на рис. 4.18. Временные параметры как для критерия нормы L-тангенса, так и для оценки перекрестной проверки приведены на рисунке 4.21. Как и ожидалось, использование нормы L-тангенса быстрее, чем перекрестная проверка.
    Рисунок 4.21: Время вычисления, необходимое для восстановления всех поверхностей из данных диапазона на рисунке 4.18 с использованием нормы L-тангенса и перекрестной проверки.

    Является ли L-касательная норма аппроксимацией перекрестной проверки?

    Этот эксперимент направлен на сравнение полученного параметра регуляризации с нашей L-касательной нормой и с критерием перекрестной проверки. Для этого мы взяли зашумленные образцы случайно сгенерированных поверхностей. Затем параметры регуляризации, полученные при перекрестной проверке (т. ) для каждого набора данных строятся в зависимости от параметра регуляризации, определяемого с помощью L-касательной нормы ( ).Результаты представлены на рисунке 4.22. Из рисунка 4.22 видно, что параметры регуляризации, полученные с помощью L-касательной нормы, часто близки к параметрам, полученным с помощью перекрестной проверки. Можно заметить, что L-касательная норма имеет тенденцию немного недооценивать большие параметры регуляризации. Однако большие параметры регуляризации обычно получаются для наборов данных с большим количеством шума или плохо ограниченных. В таких случаях точность параметра регуляризации не имеет большого значения.
    Рисунок 4.22: Сравнение параметров регуляризации, полученных с L-касательной нормой ( ) и с полученными при перекрестной проверке ( ). (а) Данные с нормально распределенным шумом. (b) Данные с равномерно распределенным шумом.
    (а) (б)

    Реконструированные поверхности

    Синтетические данные.
    В этом эксперименте мы сравниваем поверхности, реконструированные по данным, полученным в виде зашумленных дискретизаций случайно сгенерированных поверхностей.Обозначим исходную случайно сгенерированную поверхность и поверхности, реконструированные с использованием соответственно перекрестной проверки, критерия L-кривой и нашей нормы L-тангенса. Разница между исходной поверхностью и реконструированной измеряется с помощью интегральной относительной ошибки ( IRE ). Если все функции , , и определены в домене , то IRE задается следующим образом:
    (4.72)

    где функция либо , либо .Результаты этого эксперимента представлены на рисунке 4.23. Этот рисунок говорит нам о том, что ошибки реконструкции малы и схожи для перекрестной проверки и нормы L-тангенса. IRE для поверхностей, реконструированных с использованием критерия L-кривой, намного больше, чем с двумя другими критериями. Кроме того, для критерия L-кривой сообщается только о IRE с меньше 1: IRE было больше 1 для 48 тестовых поверхностей. Эти большие IRE в основном связаны с неудачей в максимизации критерия L-кривой.
    Рисунок 4.23: Интегральные относительные ошибки для 200 случайно сгенерированных поверхностей, отобранных по 500 точкам с аддитивным нормально распределенным шумом.
    Диапазон изображений.
    В этом последнем эксперименте мы намерены сравнить поверхности, восстановленные из изображений реального диапазона. Для этого мы снова возьмем три изображения диапазона на рисунке 4.18. Пусть будет исходным изображением диапазона (до подвыборки). Пусть и будут реконструированными поверхностями с использованием соответственно L-касательной нормы и критерия перекрестной проверки для выбора параметра регуляризации.Результаты этого эксперимента представлены в виде Карт относительных ошибок ( REM ). REM для поверхности, восстановленной с использованием L-касательной нормы, представляет собой изображение, в котором каждому пикселю соответствует цвет, пропорциональный разнице глубин между восстановленной поверхностью и исходной. Это записывается как:
    (4.73)

    REM для поверхности, реконструированной с использованием перекрестной проверки, определяется аналогично уравнению (4.74)) за исключением того, что заменен на . Мы также определяем Difference Error Map ( DEM ) с помощью . Результаты сравнения поверхностей, реконструированных по изображениям дальности с использованием нормы L-тангенса и перекрестной проверки, представлены на рисунке 4.24. На этом рисунке показана только карта ошибок для нормы L-тангенса. Действительно, как показано на рисунке 4.24 (d-f), две реконструированные поверхности очень похожи (что представляет главный интерес в этом эксперименте). Даже если ошибками реконструкции нельзя пренебречь (рис. 4.24 (а-в)), они еще маленькие. Основной причиной этих ошибок является субдискретизация исходных наборов данных.
    Рисунок 4.24: (a-c) Карты относительных ошибок ( REM ) для поверхностей, реконструированных с использованием критерия L-касательной нормы для трех изображений диапазона на рисунке 4.18. (d-f) Карты ошибок разности ( DEM ) между поверхностями, реконструированными с использованием критерия L-касательной нормы и критерия перекрестной проверки.

    Вклад в параметрическую регистрацию изображений и трехмерную реконструкцию поверхности (Ph.Диссертация, ноябрь 2010 г.) — Флоран Брюне
    Веб-страница создана в июле 2011 г.
    Версия в формате PDF (11 мес.)

    Формулы оптики

    Призма полного внутреннего отражения (ПВО)

    МДП зависит от чистого интерфейса стекло-воздух. Отражающие поверхности не должны содержать посторонних материалов. TIR также можно устранить, уменьшив угол падения выше критического значения. Для прямоугольной призмы индекса n лучи должны входить в грань призмы под углом θ:

    θ 2-1) 1/2 -1)/√2)

    В видимом диапазоне θ = 5.8° для БК 7 (n = 1,517) и 2,6° для плавленого кварца (n = 1,46). Наконец, призмы увеличивают оптический путь. Хотя в лазерных приложениях эффекты минимальны, следует учитывать смещение фокуса и хроматические эффекты в расходящихся пучках.

    Уравнения Френеля:

    • i — падающая среда
    • t — среда передачи

    используйте закон Снелла, чтобы найти θ t

    Нормальная заболеваемость:

    r = (n i -n t )/(n i + n t )

    t = 2n i / (n i + n t )

    Угол Брюстера:

    θ β = арктангенс (n t / n i )

    Отражается только s-поляризованный свет.

    Полное внутреннее отражение (ПВО):

    θ TIR > arcsin (n t /n i )

    n t i требуется для TIR

    Коэффициенты отражения и передачи поля:

    Коэффициенты отражения и пропускания поля определяются по формуле:

    r = E r /E i     t = E t /E i

    Ненормальный инцидент:

    R S = (N I COSOθ I -N T -N T COSθ T ) / (N I COSOθ I + N T COSθ

    R P = (N T COS θ I -N I -N I COSθ T ) / N T COSOθ I + N I COSθ T )

    t s = 2n i cosθ i /(n i cosθ i + n t cosθ t )

    t p = 2n i cosθ i /(n t cosθ i + n i cosθ t

  • 6)

    Силовое отражение:

    Коэффициенты отражения и передачи мощности обозначены прописными буквами:

    R = r 2     T = t 2 (n t cosθ t )/(n i cosθ i )

    Показатели преломления объясняют разные скорости света в двух средах; отношение косинусов корректирует различные площади поперечного сечения лучей по обеим сторонам границы.

    Интенсивность (Вт/площадь) также должна быть скорректирована на этот коэффициент геометрического наклона:

    I t = T x I i (cosθ i /cosθ t )

    Сохранение энергии:

    Р + Т = 1

    Это соотношение справедливо как для компонентов p и s по отдельности, так и для полной мощности.

    Поляризация

    Для упрощения расчетов отражения и пропускания падающее электрическое поле разбивается на две плоскополяризованные составляющие.«Колесо» на рисунках ниже обозначает плоскость падения. В этой плоскости лежат нормаль к поверхности и все векторы распространения ( k i , k r , k t ).

    Расчет крутящего момента с примерами

    При изучении того, как вращаются объекты, быстро возникает необходимость выяснить, как данная сила приводит к изменению вращательного движения. Тенденция силы вызывать или изменять вращательное движение называется крутящим моментом, и это одно из наиболее важных понятий, которые необходимо понимать при разрешении ситуаций вращательного движения.

    Значение крутящего момента

    Крутящий момент (также называемый моментом — в основном инженеры) рассчитывается путем умножения силы и расстояния. Единицами крутящего момента в СИ являются ньютон-метры или Н*м (хотя эти единицы такие же, как джоули, крутящий момент не является работой или энергией, поэтому должен быть просто ньютон-метрами).

    В расчетах крутящий момент обозначается греческой буквой тау: τ .

    Крутящий момент является векторной величиной, то есть имеет как направление, так и величину.Честно говоря, это одна из самых сложных частей работы с крутящим моментом, потому что он рассчитывается с использованием векторного произведения, а это означает, что вы должны применить правило правой руки. В этом случае возьмите правую руку и согните пальцы руки в направлении вращения, вызванного силой. Большой палец правой руки теперь указывает в направлении вектора крутящего момента. (Иногда это может показаться немного глупым, когда вы поднимаете руку и изображаете пантомиму, чтобы вычислить результат математического уравнения, но это лучший способ визуализировать направление вектора.)

    Векторная формула, которая дает вектор крутящего момента τ :

    τ = r × F

    Вектор r является вектором положения относительно начала координат на оси вращения (эта ось τ на графике). Это вектор с величиной расстояния от места приложения силы до оси вращения. Он направлен от оси вращения к точке приложения силы.

    Величина вектора вычисляется на основе θ , которая представляет собой разность углов между r и F , по формуле:

    τ = rF sin( θ )

    Особые случаи крутящего момента

    Пара ключевых моментов относительно приведенного выше уравнения с некоторыми эталонными значениями θ :

    • θ = 0° (или 0 радиан) — Вектор силы указывает в том же направлении, что и r .Как вы можете догадаться, это ситуация, когда сила не будет вызывать никакого вращения вокруг оси… и математика это подтверждает. Поскольку sin(0) = 0, эта ситуация приводит к τ = 0.
    • θ = 180° (или π радиан). Это ситуация, когда вектор силы указывает прямо на r . Опять же, толкание к оси вращения также не приведет к вращению, и, опять же, математика подтверждает эту интуицию.Поскольку sin(180°) = 0, значение крутящего момента снова равно τ = 0.
    • θ = 90° (или π /2 радиан). Здесь вектор силы перпендикулярен вектор положения. Это кажется наиболее эффективным способом, которым вы могли бы толкнуть объект, чтобы увеличить вращение, но поддерживает ли это математика? Итак, sin(90°) = 1, что является максимальным значением, которого может достичь синусоидальная функция, что дает результат τ = rF . Другими словами, сила, приложенная под любым другим углом, будет создавать меньший крутящий момент, чем когда она приложена под углом 90 градусов.
    • Тот же аргумент, что и выше, применим к случаям θ = -90° (или — π /2 радиан), но со значением sin(-90°) = -1, что приводит к максимальному крутящему моменту в противоположное направление.

    Пример крутящего момента

    Давайте рассмотрим пример, когда вы прикладываете вертикальную силу вниз, например, когда пытаетесь ослабить гайки на спущенной шине, наступив на гаечный ключ. В этой ситуации идеальной ситуацией является расположение гаечного ключа строго горизонтально, чтобы вы могли наступить на его конец и получить максимальный крутящий момент.К сожалению, это не работает. Вместо этого накидной ключ надевается на зажимные гайки таким образом, чтобы они находились под углом 15 % к горизонтали. Гаечный ключ имеет длину 0,60 м до конца, где вы прикладываете свой полный вес 900 Н.

    Какова величина крутящего момента?

    А как насчет направления?: Применяя правило «слева-свободно, справа-затянуто», вы захотите, чтобы зажимная гайка вращалась влево — против часовой стрелки — чтобы ослабить ее. Используя правую руку и сгибая пальцы в направлении против часовой стрелки, большой палец торчит наружу.Таким образом, направление крутящего момента направлено от шин … это также направление, в котором вы хотите, чтобы зажимные гайки в конечном итоге вращались.

    Чтобы начать вычислять значение крутящего момента, вы должны понимать, что в приведенной выше настройке есть немного вводящий в заблуждение момент. (Это обычная проблема в таких ситуациях.) Обратите внимание, что 15%, упомянутые выше, представляют собой наклон от горизонтали, но это не угол θ . Необходимо рассчитать угол между r и F .Наклон 15° от горизонтали плюс расстояние 90° от горизонтали до направленного вниз вектора силы, что в сумме дает 105° как значение θ .

    Это единственная переменная, которая требует настройки, поэтому мы просто присваиваем значения другим переменным:

    • θ = 105°
    • r = 0,60 м
    • F = 900 Н
    τ = rF sin( θ ) =
    (0.60 м)(900 Н)sin(105°) = 540 × 0,097 Нм = 520 Нм

    Обратите внимание, что приведенный выше ответ включал сохранение только двух значащих цифр, поэтому он округлен.

    Крутящий момент и угловое ускорение

    Приведенные выше уравнения особенно полезны, когда на объект действует единственная известная сила, но во многих ситуациях вращение может быть вызвано силой, которую нелегко измерить (или, возможно, многими такими силами). Здесь крутящий момент часто не рассчитывается напрямую, а вместо этого может быть рассчитан относительно полного углового ускорения α , которому подвергается объект.Эта связь определяется следующим уравнением:

    • Σ τ — Чистая сумма всех крутящих моментов, действующих на объект
    • I — момент инерции, представляющий сопротивление объекта изменению угловой скорости
    • α — угловое ускорение

    7. РАБОТА И КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

    7. РАБОТА И КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ

    В этой главе мы познакомимся с понятиями работы и кинетической энергии.Эти инструменты значительно упростят решение определенных проблем. можно решить.

    Рисунок 7.1. Сила F , действующая на тело. Результирующий смещение указано вектором d .

    Предположим, что на тело действует постоянная сила F, в то время как тело движется по расстояние д. И сила F, и перемещение d являются векторами, которые не обязательно указывая в одном направлении (см. рисунок 7.1). Работа, проделанная сила F, действующая на объект при смещении d, определяется как

    Работа силы F равна нулю, если:

    * d = 0: смещение равно нулю

    * [phi] = 90 град.: сила, перпендикулярная смещению

    Рисунок 7.2. Положительная или отрицательная работа.

    Работа, совершаемая силой F, может быть положительной или отрицательной в зависимости от [фи].Например, предположим, что у нас есть объект, движущийся с постоянной скоростью. В момент времени t = 0 с приложена сила F. Если F — единственная сила, действующая на тело, объект будет либо увеличивать, либо уменьшать свою скорость в зависимости от направлены ли скорость v и сила F в одну и ту же направлении (см. рис. 7.2). Если ( F * v ) > 0, скорость объект будет увеличиваться, и работа, совершенная силой над объектом, положительна. Если ( F * v ) < 0, скорость объекта уменьшится и работа, совершаемая силой над телом, отрицательна.Если ( F * v ) = 0 мы имеем дело с центростремительным движением и скорость объекта остается постоянный. Обратите внимание, что для силы трения ( F * v ) < 0 (всегда) и скорость объекта всегда уменьшается!

    По определению работа является скаляром. Единицей работы является Джоуль (Дж). От Из определения работы видно, что:

    1 Дж = 1 Н·м = 1 кг·м 2 2

    Рисунок 7.3. Силы, действующие на сейф.

    Пример задачи 7-2

    Сейф массой m толкают по плиточному полу с постоянной скоростью в течение расстояние д. Коэффициент трения между дном сейфа и дном этаж у к . Определить все силы, действующие на безопасный и вычислить работу, совершенную каждым из них. Какова общая проделанная работа?

    На рис. 7.3 показаны все силы, действующие на сейф. Так как сейф движется с постоянной скоростью, его ускорение равно нулю, а результирующая сила действующий на него равен нулю

    Компоненты чистой силы по оси x и по оси y поэтому также должен быть равен нулю

    Второе уравнение показывает, что N = W = m g.Сила, которая приложена до сейфа теперь можно вычислить

    Теперь можно вычислить работу, проделанную над сейфом каждой из четырех сил. рассчитано:

    Таким образом, общая работа, выполненная над сейфом, равна

    .

    чего можно было ожидать, поскольку результирующая сила, действующая на сейф, равна нулю.

    Пример задачи 1

    Ящик массой m поднимают по склону (угол наклона равен [тета]) с постоянной скоростью. Рассчитайте объем работы, выполненной усилие после того, как ящик переместится на высоту h (см. рис. 7.4).

    Рисунок 7.4. Пример задачи 1.

    Система координат, которая будет использоваться, показана на рисунке 4. Поскольку ящик движется с постоянной скоростью, результирующая сила по осям x и y направление должно быть нулевым.Чистая сила в направлении x определяется как

    а сила F, необходимая для перемещения ящика с постоянной скоростью, равна фиксированный:

    Эта сила действует на расстоянии d. Значение d фиксируется угол [тета] и высота h:

    (см. рис. 7.4). Работа, совершаемая силой над ящиком, равна по

    Работа силы тяжести над ящиком равна

    Работа, совершаемая над ящиком нормальной силой N, равна нулю, так как N перпендикулярно д.Делаем вывод, что общая работа, совершенная над ящиком, равна по

    что и ожидалось, поскольку результирующая сила, действующая на ящик, равна нулю.

    Рисунок 7.5. Ящик перемещается в вертикальном направлении.

    Если бы тот же ящик был поднят на высоту h по вертикали направлении (см. рис. 7.5), сила F, необходимая для создания постоянной скорости будет равно

    F = m g

    Эта сила действует на расстоянии h, и работа, совершаемая этой силой на объект

    Вт Ж = м г ч

    которая равна работе, совершаемой силой на наклонном склоне.Хотя работа, совершаемая каждой силой, одинакова, сила требуемой сила очень различна в каждом из двух случаев.

    Пример задачи 2

    Брус массой 3,57 кг протащили с постоянной скоростью 4,06 м по горизонтальному полу. канат с силой 7,68 Н под углом 15°. выше горизонтали. Вычислите (а) работу, совершаемую веревкой на блоке, и (б) коэффициент кинетическое трение между блоком и полом.

    Рис. 7.6. Пример задачи 2.

    Всего на массу m действуют четыре силы: сила тяжести W, нормальная сила N, сила трения f k и приложенная сила F. Эти четыре силы схематично показаны на рис. 7.6. Поскольку скорость масса постоянна, его ускорение равно нулю. х и y-компоненты чистой силы, действующей на массу, равны

    Поскольку результирующая сила, действующая на массу, должна быть равна нулю, последнее уравнение можно использовать для определения нормальной силы Н:

    Кинетическая сила трения f k равна

    Однако, поскольку результирующая составляющая силы вдоль оси абсцисс должна также равна нулю, кинетическая сила трения f k также связана с применяет силу следующим образом

    Комбинируя эти два последних выражения, мы можем определить коэффициент кинетического трения:

    Работу, совершаемую веревкой над массой m, можно вычислить скорее легко:

    Работа силы трения равна

    .

    Работа, совершаемая нормальной силой N и весом W, равна нулю, так как сила и перемещение перпендикулярны.Полная работа, совершенная над массой, равна поэтому дано

    Это не является неожиданным, поскольку результирующая сила, действующая на массу, равна нуль.

    В предыдущем обсуждении мы предполагали, что сила, действующая на объект постоянна (не зависит от положения и/или времени). Однако во многих случаях это не правильное предположение. За счет уменьшения размера водоизмещения (например, уменьшая интервал времени) мы можем получить интервал более где сила почти постоянна.Работа, совершенная за этот небольшой промежуток (дВт) можно рассчитать

    Полная работа силы F равна сумме всех dW

    Пример: Весна

    Примером переменной силы является сила, действующая на пружину. который растягивается или сжимается. Предположим, мы определяем нашу систему координат так что его начало совпадает с конечной точкой пружины в расслабленном состоянии (см. рисунок 7.7). Пружина растягивается, если x > 0, и сжимается, если x < 0. Сила пружины попытается вернуть пружину в исходное положение. расслабленное состояние:

    , если x < 0: F > 0

    , если x > 0: F < 0

    Экспериментально установлено, что для многих пружин сила равна пропорционально x:

    F = — k x

    Рисунок 7.7. Расслабленные, растянутые и сжатые пружины.

    где k — жесткость пружины (которая положительна и не зависит от Икс).Единицей СИ для жесткости пружины является Н/м. Чем больше пружина постоянным, тем жестче пружина. Работа, совершаемая пружиной над объектом прикрепленный к его концу, можно вычислить, если мы знаем начальное положение x i и конечное положение x f объекта:

    Если пружина изначально находится в расслабленном состоянии (x i = 0) находим, что работа, совершенная пружиной, равна

    .

    Рис. 7.8. Маятник в плоскости x-y

    Рассмотрим маятник, показанный на рис. 7.8. Маятник перемещается из положения 1 в положение 2 постоянной силой F, направленной в горизонтальной направлении (см. рис. 7.8). Масса маятника m. Что за работа производится суммой приложенной силы и силы гравитации для перемещения маятник из положения 1 в положение 2 ?

    Метод 1 — Сложный

    Векторная сумма приложенной силы и силы тяжести равна показано на рисунке 7.9. Угол между приложенной силой F и суммой векторов F т это а. На рис. 7.9 показано, что следующие уравнения связывают F с F t и F g до F t :

    Рисунок 7.9. Векторная сумма F t F g и F.

    Чтобы рассчитать работу, совершаемую полной силой на маятника, нам нужно знать угол между полной силой и направлением движения.На рис. 7.10 показано, что если угол между маятником и ось y — это [тета], угол между общей силой и направлением движение есть [тета] + а. Расстояние dr является функцией d[theta]:

    Для очень малого расстояния dr угол между dr и F t не изменится. Работа, совершенная F t над маятником, равна

    Полная работа, выполненная F t , может быть получена путем интегрирования уравнение для dW для всех углов между [тета] = 0 град.и [тета] = [тета] макс . Максимальный угол может быть легко выражен через r и ч:

    Рисунок 7.10. Угол между суммой силы и направлением.

    Общая проделанная работа

    Используя одно из тригонометрических тождеств (Приложение, стр. A15), мы можем перепишите это выражение как

    Используя приведенные выше уравнения для F t cos(a), F t sin(a), r cos([theta] max ) и r sin([theta] max ) мы можем перепишем это выражение и получим для W:

    Метод 2 — Простой

    Суммарная работа, совершаемая над маятником приложенной силой F и гравитационная сила F g могла бы быть получена намного легче, если бы использовалось следующее отношение:

    Полная работа W равна сумме работы приложенной силы F и работа силы тяжести F g .Эти две величины можно легко рассчитать:

    И общая работа

    что идентично результату, полученному по методу 1.

    Наблюдение за тем, что объект движется с определенной скоростью, указывает на что когда-то в прошлом над ним должна была быть проделана работа.Предположим, наш объект имеет массу m и движется со скоростью v. Его текущая скорость равна результат силы F. Для данной силы F мы можем получить ускорение нашего объект:

    Считая, что в момент времени t = 0 объект покоился, мы можем получить скорость в любой момент времени:

    Следовательно, время, за которое масса достигает скорости v, может быть рассчитано:

    Если в этот момент сила отключится, масса продолжит двигаться с постоянная скорость равна v.Чтобы рассчитать работу, совершенную сила F, действующая на массу, нам нужно знать полное расстояние, на котором эта сила действовал. Это расстояние d легко найти из уравнений движения:

    Работа силы F над массой равна

    Работа не зависит от силы F и зависит только от массы объекта и его скорости.Поскольку эта работа связана с движение объекта, называется его кинетической энергией K :

    Если кинетическая энергия частицы изменяется от некоторого начального значения K i к некоторому конечному значению K f количество работы, выполненной на частица определяется как

    W = K f — K i

    Это указывает на то, что изменение кинетической энергии частицы равно равной работе всех сил, действующих на эту частицу. Это.

    Альтернативное происхождение

    Рассмотрим частицу массы m, движущуюся вдоль оси x и находящуюся под действием сети сила F(x), направленная вдоль оси x. Работа, совершаемая силой F над массой m по мере того, как частица перемещается из своего начального положения x i в свое конечная позиция x f равно

    Из определения a мы можем сделать вывод

    Подставляя это выражение в интеграл, получаем

    Пример задачи 3

    Объект массой m покоится в момент времени t = 0.Он подпадает под влияние силы тяжести на расстоянии h (см. рис. 7.11). Что это скорость в этой точке?

    Поскольку объект изначально покоится, его начальная кинетическая энергия равна нулю:

    К i = 0 Дж

    Сила, действующая на объект, представляет собой силу тяжести

    F г = мг г

    Рис. 7.11. Падающий объект.

    Работа силы тяжести над объектом равна просто

    Вт = F г ч = мг г ч

    Кинетическая энергия тела после падения на расстояние h может быть рассчитано:

    Вт = м . г . ч = К ж — К я = К ф

    и его скорость в этой точке

    Рисунок 7.12. Движение снаряда.

    Пример задачи 4

    Бейсбольный мяч подброшен в воздух с начальной скоростью v 0 (см. Рисунок 7.12). Какой наивысшей точки он достигает?

    Начальная кинетическая энергия бейсбольного мяча равна

    .

    В высшей точке скорость бейсбольного мяча равна нулю, и поэтому его кинетическая энергия равна нулю.Работа, проделанная в бейсболе силой гравитации можно получить:

    Вт = K f — K i = — K i

    В этом случае направление перемещения шара противоположно к направлению гравитационной силы. Предположим, что бейсбольный мяч достигает высота ч. В этот момент работа, совершенная над бейсбольным мячом, равна

    W = — m g h

    . Теперь можно рассчитать максимальную высоту h:

    В повседневной жизни объем работы, который может выполнить аппарат, невелик. всегда важно.В общем, более важно знать время в пределах которой может быть выполнен определенный объем работы. Например: взрывной эффект динамита основано на его способности высвобождать большое количество энергии в очень короткое время. Такой же объем работы можно было бы выполнить с помощью небольшого обогреватель (и если он работает в течение длительного времени), но обогреватель будет не вызвать взрыва. Величина интереса – это мощность. Сила говорит нам кое-что о скорости выполнения работы.Если объем работы W осуществляется в интервале времени [Delta]t, средняя мощность для этого временной интервал

    Мгновенная мощность может быть записана как

    Единицей мощности в системе СИ является Дж/с или Вт (Ватт). Например, наше использование электричество всегда выражается в единицах киловатт . час. Этот эквивалентно

    7.3.1. кВт . ч = (10 3 Вт) (3600 с) = 3.6 х 10 6 Дж = 3,6 МДж

    Мы также можем выразить мощность, сообщаемую телу, через силу действует на тело и его скорость. Таким образом, для частицы, движущейся в одном размерность получаем

    В более общем случае движения в трех измерениях мощность P может быть выражается как


    Присылайте комментарии, вопросы и/или предложения по электронной почте [email protected] и/или посетите домашнюю страницу Фрэнка Вольфса.

    Сила волны | Блестящая математика и естественные науки вики

    Чтобы определить мощность, переносимую колебаниями струны, сначала заметим, что общее решение волнового уравнения для амплитуды поперечных колебаний струны:

    y=Asin⁡(ωt−kx+ϕ)y = A\sin{(\omega t-kx+\phi)}y=Asin(ωt−kx+ϕ)

    , где вышеуказанные константы — это амплитуда AAA, угловая частота ω\omegaω, волновое число kkk и фазовый сдвиг ϕ\phiϕ.

    Рассматривая силы, действующие на небольшой элемент струны, можно найти мощность, переносимую этим элементом, и отсюда мощность, переносимую колебаниями по всей струне. См. схему ниже:

    Небольшой отрезок колеблющейся струны ускоряется силами натяжения за счет смещения близлежащих частей струны.

    Мощность, переносимая частицей, просто подчиняется формуле P=F⃗⋅v⃗P = \vec{F} \cdot \vec{v}P=F⋅v.Поскольку сила, действующая на небольшую часть струны, представляет собой просто натяжение TTT из-за находящегося поблизости куска струны, эта мощность равна:

    P=Tvcos⁡(90−θ)=Tvsin⁡θ, P = Tv \cos (90 — \theta) = Tv \sin \theta,P=Tvcos(90−θ)=Tvsinθ,

    , где θ\thetaθ — угол между силой натяжения и горизонталью, как на диаграмме выше. Для малых колебаний, удовлетворяющих волновому уравнению, sin ⁡ θ ≈ θ ≈ tan ⁡ θ \ sin \ theta \ приблизительно \ theta \ приблизительно \ tan \ thetasin θ ≈ θ ≈ tan θ в малоугловом приближении.{ 2 }\omega }{ 2 },⟨P⟩=TkA2ω⟨cos2(ωt−kx+ϕ)⟩=2TkA2ω​,

    , так как среднее значение квадрата косинуса по колебанию равно 12\frac1221​.

    Эту формулу также можно записать с другими переменными, используя тот факт, что скорость волны выражается через плотность массы μ\muμ и натяжение TTT как v=Tμv = \sqrt{\frac{T}{\mu}}v= µT​​ и что по определению k=ωvk = \frac{\omega}{v}k=vω​.2.⟨P⟩=21​мквω2А2.

    2P9\frac{2P}{9}92P​ P3\frac{P}{3}3P​ 2P3\фракция{2P}{3}32P​ P4\frac{P}{4}4P​

    Колеблющаяся струна несет мощность PPP в единицу времени.Если длину струны удвоить (при неизменной массе струны) и колебания струны в два раза быстрее (при неизменной скорости волны), но амплитуда колебаний уменьшится в 3 раза, какова новая мощность, которую несет колеблющаяся струна?

    Простой гармонический осциллятор – Гиперучебник по физике

    Обсуждение

    Доверься мне. Это просто.

    Начните с пружины, лежащей на горизонтальной поверхности без трения (на данный момент).Прикрепите один конец к неподвижному предмету, а другой к подвижному предмету. Запустите систему в равновесном состоянии — ничего не движется и пружина находится в расслабленном состоянии.

    Теперь нарушьте равновесие. Потяните или толкните массу параллельно оси пружины и отойдите. Вы знаете, что будет дальше. Система будет колебаться из стороны в сторону (или вперед и назад) под действием восстанавливающей силы пружины. (Восстанавливающая сила действует в направлении, противоположном смещению из положения равновесия.) Если пружина подчиняется закону Гука (сила пропорциональна растяжению), то устройство называется простым гармоническим осциллятором (часто сокращенно шо ), а способ его движения называется простым гармоническим движением (часто сокращенно шм ). ).

    Начните анализ со второго закона Ньютона.

    F  =  м а

    Существует только одна сила — возвращающая сила пружины (которая отрицательна, так как действует против смещения массы из положения равновесия).Замените результирующую силу законом Гука. Замените ускорение второй производной от смещения.

    Немного переставить вещи.

    к   x  =  г 2 х
    м дт 2

    Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка. В левой части у нас есть функция со знаком минус перед ней (и некоторыми коэффициентами).В правой части у нас есть вторая производная этой функции. Решением этого уравнения является функция, вторая производная которой равна самой себе со знаком минус. У нас есть две возможные функции, которые удовлетворяют этому требованию — синус и косинус — две функции, которые по существу одинаковы, поскольку каждая из них является просто версией другой со сдвигом по фазе. Когда триггерная функция сдвинута по фазе, ее производная также сдвинута по фазе. Ни на что другое это не влияет, поэтому мы можем выбрать синус со сдвигом фазы или косинус со сдвигом фазы.

    Тригонометрические функции и производные
    функция 1-я производная 2-я производная
      f ( x ) = +sin  x  
       
    д 2 f ( x ) = −sin  x
    дх 2
    д 2 f ( x ) = −cos  x
    дх 2

    Я думаю, что я пойду с функцией синуса и добавлю произвольный сдвиг фазы или угол фазы или фаза (φ, «фи»), чтобы наш анализ охватывал синус (φ = 0), косинус (φ = π 2 ) и все, что между ними (φ = независимо от ).С физической точки зрения нам нужен фазовый член, чтобы учесть все возможные начальные положения — при равновесии, движущемся в одну сторону (φ = 0), при равновесии, движущемся в другом направлении (φ = π), полностью в одну сторону (φ = π 2 ), вплоть до другой стороны (φ = 2 ) и все, что между ними (φ = независимо от ).

    Фаза
    физическое описание фазовый сдвиг
    начиная с равновесия,
    продвигаясь вперед
    нет
    (начальная фаза)
    0 радиан
    полностью в одну сторону,
    остановился мгновенно
    квартал
    цикл
    π 2 радиан
    возвращение в равновесие,
    движение назад
    половина цикла
    π радиан
    весь путь на другую сторону,
    остановился мгновенно
    три четверти
    цикл
    2 радиан
    возврат к равновесию,
    движение вперед
    полный цикл
    2π радиан

    Нам также нужны коэффициенты для обработки единиц.Решением нашего дифференциального уравнения является алгебраическое уравнение — положение как функция времени ( x ( t )) — которое также является тригонометрическим уравнением. Все тригонометрические функции являются отношениями, что делает их безразмерными (более точный математический термин) или безразмерными (термин, который я предпочитаю). Единственная единица измерения, которую вы действительно можете использовать в триггерной функции, — это радиан. Согласно математическому определению, угол (φ) представляет собой отношение длины дуги ( s ) к радиусу ( r ).Использование единиц СИ дало бы нам метры над метрами, что анализ размерностей сводит на нет. В некотором смысле радиан — это единица измерения ничего.

    φ = с ⇒ 

    рад = м  = «безразмерный»

    р м

    Обойти это можно, добавив коэффициент, который изменяет нашу входную переменную (время) на то, что может обрабатывать триггерная функция (радианы).Эта штука называется угловой частотой , которая в данном случае является скоростью изменения фазового угла (φ) во времени ( t ). Его символ — строчная омега (ω).

    Единицей угловой частоты в СИ является радиан в секунду , что сокращается до обратной секунды, поскольку радиан безразмерен.



    рад  =  1  = с −1

    с с

    Я лично ненавижу это количество.В данном контексте это не имеет физического смысла. Угловая частота отлично подходит для систем, которые вращаются (вращаются) или вращаются (движутся по кругу), но наша система колеблется (движется вперед и назад). Как одна вещь связана с другой? Поскольку краткий ответ «абстрактно», разумно вообще избегать ω и использовать коэффициент, основанный на физической реальности.

    Периодическая система — это система, в которой время между повторяющимися событиями является постоянным. (Система, в которой время между повторяющимися событиями непостоянно, называется апериодической .) Время между повторяющимися событиями в периодической системе называется периодом . Математически это время ( t ) на количество событий ( n ). Символ периода — заглавный курсив T , хотя некоторые профессии предпочитают заглавный курсив P .

    Единицей периода СИ является секунды , так как количество событий безразмерно.



    с =  с

    1

    Частота — это скорость, с которой происходит периодическое событие.Математически это количество событий ( n ) за время ( t ). Символ частоты — длинный f , но также подойдет строчный курсив f . (Эти символы часто совпадают в некоторых шрифтах.)

    Единицей частоты в системе СИ является обратная секунда, которая называется герц (Гц) в честь Генриха Герца, немецкого физика XIX века, подтвердившего существование радиоволн.



    Гц =  1  = с −1

    с

    Период и частота обратны друг другу.Конечно, они также обратно пропорциональны, но это упускает суть. Они обратно пропорциональны с коэффициентом пропорциональности единице (без единицы). Следовательно, не требуется никакого коэффициента, чтобы сделать их обратные равными. Они абсолютно и совершенно взаимны.

    f  =  1 Т  =  1
    Т ф

    Назад к дифференциальному уравнению.Его решение является синусоидальным с фазовым сдвигом. Время является входной переменной в триггерную функцию. Триггерные функции не могут принимать числа с единицами измерения. Исправление заключается в использовании угловой частоты (ω). Угловая частота не имеет физической реальности. Однако частота ( f ) есть. Угловая частота рассчитывает количество радиан в секунду. Частота подсчитывает количество событий в секунду. Последовательность событий, которая повторяется, называется циклом. Функция синуса повторяется после того, как она «переместилась» на 2π радиан математической абстрактности.Движение простого гармонического осциллятора повторяется после того, как он прошел один полный цикл простого гармонического движения.

    ω = ф  =  2π радиан
    т 1 период
    f  =  п  =  1 цикл
    т 1 период

    Разделить одно уравнение на другое…

       =  2π радиан  =  2π радиан
    ω 1 период
    ф 1 цикл 1 цикл
      1 период

    Напомним, что и радианы, и циклы являются безразмерными величинами, а это значит…

    ω  =  2π радиан  = 
    ф 1 цикл 1

    и таким образом…

    ω = 2π f

    Умножение любой части этого уравнения на время исключает единицу измерения из входной части уравнения.Но как насчет выходной стороны? Выход функции синуса представляет собой безразмерное число, которое изменяется от +1 до -1. Наше дифференциальное уравнение должно сгенерировать алгебраическое уравнение, которое выдает позицию между двумя крайними значениями, скажем + A и — A . Мне нравится символ А , так как крайняя величина колебательной системы называется ее амплитудой , а амплитуда начинается с буквы а. Амплитуда использует те же единицы измерения, что и перемещение в этой системе — метры [м], сантиметры [см] и т. д.Умножьте функцию синуса на A , и все готово. Вот общее решение простого гармонического осциллятора (и многих других дифференциальных уравнений второго порядка).

    x  =  A  sin(2π футов  + φ)

    где…

    x  =  позиция [м, см и т. д.]
    А  =  амплитуда [м, см и т. д.]
    f  =  частота [Гц]
    т  =  время [с]
    φ = фаза [рад]

    Я сказал, что это алгебраическое уравнение является решением нашего дифференциального уравнения, но так и не доказал этого.Наверное, я должен это сделать. Это покажет нам кое-что интересное. Начните с уравнения…

    x  =  A  sin(2π футов  + φ)

    Найдите первую производную…

    дх  = 2π fA  cos(2π футов  + φ)
    дт

    , поэтому мы можем найти его вторую производную…

    г 2 x  = −4π 2 f 2 A  sin(2π футов  + φ)
    дт 2

    Подставить уравнение и его вторую производную обратно в дифференциальное уравнение…

    к   x  =  г 2 х
    м дт 2

    вот так…

    к A SIN (2π FT + φ) = -4π 2 F 2 A SIN (2π FT + φ)
    м

    тогда упрости.Обе переменные сокращаются (вместе со многими другими вещами), что означает, что мы нашли хорошее решение. У нас осталось это…

    Теперь самое интересное. Найдите частоту…

    И пока мы это делаем, инвертируйте частоту, чтобы получить период…

    Простое гармоническое движение эволюционирует во времени подобно синусоидальной функции с частотой, которая зависит только от жесткости возвращающей силы и массы движущейся массы. Более жесткая пружина колеблется чаще, а большая масса колеблется реже.Вы также можете описать эти выводы в терминах периода простого гармонического движения. Более тяжелая масса колеблется с более длинным периодом, а более жесткая пружина колеблется с более коротким периодом. Амплитуда не влияет на частоту и период. Шо, колеблющееся с большой амплитудой, будет иметь ту же частоту и период, что и такое же шо, колеблющееся с меньшей амплитудой.

    фазовый угол

    Позиция и время — это некоторые переменные, описывающие движение (в данном случае — шм).Частота и период являются свойствами периодических систем (в данном случае шо). Амплитуда и фаза — коэффициенты, входящие в уравнения периодического движения, определяемые начальными условиями (в данном случае — начальным положением и начальной скоростью шо).

    Начните с уравнения положения. Подставим в любую произвольную начальную позицию x 0 (ex ноль), но для удобства назовем начальное время нулевым.

    x = A sin(2π футов + φ)
    x 0 = A

    Затем сделайте что-то подобное с первой производной позиции — более известной как скорость.Замените любую произвольную начальную скорость v 0 (vee ноль)

    v  = 2π fA  cos(2π ft  + φ)
    v 0  = 02 φ 9 fA

    Разделите начальное положение на начальную скорость.

    х 0  =  А  sin φ  =  тангенс φ
    v 0 fA  cos φ ф

    Фазовый угол связан с отношением начального положения к начальной скорости следующим образом…

    Напомним, что частота определяется жесткостью пружины и массой.

    Фазовый угол также можно записать так…

    тангенс φ = х 0 к
    v 0 м

    и даже вот так…

    тангенс φ = √ кх 0 2
    мв 0 2

    Выглядит знакомо? А если я это сделаю?

    тангенс φ = √ ½ кх 0 2
    ½ мв 0 2

    Фазовый угол связан с отношением начальной упругой потенциальной энергии к начальной кинетической энергии.

    Почти, но не совсем. Когда я переместил начальное положение и начальную скорость под знак радикала, я возвел их в квадрат. Это не совсем правильно. Когда я сделал это, я уничтожил информацию о знаке в двух начальных условиях.

  • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.