Что такое косинус фи: В доступе на страницу отказано

Что такое косинус фи в электрике

Как найти электрическую мощность

Основная единица электрической мощности — Ватт. Электрическую мощность можно найти по следующей формуле:

Формула мощности

Давайте рассмотрим формулу, которую я привёл выше.

I (ток)- количество электричества, протекающее за определённый момент времени;

U(напряжение) — проделанная работа электрического поля по переносу заряду из точки А в точку В.

А теперь простыми словами: Два человека (это будет у нас ток) несут вместе один камень из точки А в точку В весом в 50 кг и тратят на это энергию (это напряжение), и один человек несёт камень массой 10 кг и тоже тратит энергию. Весовая категория у людей одинаковая. Если эти данные мы перенесём в нашу формулу, то выясним, что у двух людей мощность больше, чем у одного.

Приведу ещё формулы, по которым можно рассчитать электрическую мощность:

Формула мощности

Где: I-
ток, U- напряжение, R-
сопротивление

Как видите ничего сложного нет, потому что мы рассматриваем постоянный ток.

Косинус угла в электротехнике

Итак, что такое косинус в электротехнике? Дело в том, что есть такое явление, как сдвиг фаз между током и напряжением

Он происходит по разным причинам, и иногда важно знать о его величине. Сдвиг фаз можно измерить в градусах, от 0 до 360

На практике степень реактивности (без указания индуктивного либо емкостного характера) выражают не в градусах, а в функции косинуса, и называют коэффициентом мощности:

cos fi

где:

• P – активная мощность, которая тратится на совершение полезной работы,
• S – полная мощность.

Полная мощность является геометрической суммой активной Р и реактивной Q мощностей, поэтому формулу коэффициента мощности можно записать в следующем виде:

Формула коэффициента мощности через активную и реактивную мощности

В иностранной литературе cos φ называют PF (Power Factor). Фактически, это коэффициент, который говорит о сдвиге сигнала тока по отношению к сигналу напряжения.

Легендарный Алекс Жук очень толково рассказал, что такое реактивная мощность, и всё по этой теме:

В видео подробно и доступно изложена вся теория по теме.

«Звезда»

При соединении обмоток звездой к началам обмоток присоединяют питающие провода (на схемах обозначены цветами), а концы обмоток соединяют между собой в одну точку, при этом подключение нулевого проводника в точку соединения концов обмоток необязательно так как это симметричная нагрузка. В свою очередь, точка соединения концов обмоток также называется нейтралью.

Есть два варианта представления этого соединения на электрических схемах, как в наглядном виде, действительно напоминающем трёхлучевую звезду (А), так и в более классическом для схем представлении (Б). Вас не должно смущать это отличие, когда вы читаете схему.

Активная, реактивная и полная мощности

Мы знаем, что реактивные нагрузки (индуктивности и конденсаторы) не рассеивают мощность, но то, что на них падает напряжение и через них протекает ток, даёт обманчивое впечатление, что они всё-таки рассеивают мощность. Эта «фантомная мощность» называется реактивной мощностью, а её единицей измерения является вольт-ампер реактивный (вар), а не ватт.

Реактивная мощность в математических выражениях обозначается прописной буквой Q. Фактическое количество используемой или рассеиваемой в цепи мощности называется активной мощностью и измеряется в ваттах (обозначается, как обычно, прописной буквой P). Комбинация реактивной и активной мощностей называется полной мощностью и является произведением напряжения и тока цепи без учёта угла сдвига фаз. Полная мощность измеряется в вольт-амперах (ВА) и обозначается прописной буквой S.

Как правило, величина активной мощности определяется сопротивлением рассеивающих ее элементов цепи, обычно резисторов (R). Реактивная мощность определяется величиной реактивного сопротивления (X). Полная мощность определяется полным сопротивлением цепи (Z). Поскольку при определении мощности мы имеем дело со скалярными величинами, любые исходные комплексные величины (напряжение, ток и полное сопротивление) должны быть представлены в показательной форме, а не в виде действительных или мнимых составляющих. К примеру, при определении активной мощности по величинам тока и сопротивления необходимо использовать величину тока в полярной системе координат, а не действительную или мнимую часть. При определении полной мощности по напряжению и полному сопротивлению обе эти комплексные величины должны быть представлены в полярной системе координат для применения скалярной арифметики.

Имеется несколько выражений, связывающих три типа мощности со значениями активного, реактивного и полного сопротивления (во всех случаях используются скалярные величины).

P – активная мощность P = I2R P = E2/R Единицей измерения является ватт

Q – реактивная мощность Q = I2X Q = E2/X Единицей измерения является вольт-ампер реактивный (вар)

S – полная мощность S = I2Z S = E2/Z S = IE Единицей измерения является вольт-ампер (ВА)

Обратите внимание, что для определения активной и реактивной мощности имеются два выражения. Для определения полной мощности есть три выражения, P = IE используется только для этой цели

Изучите схемы, приведённые ниже, и посмотрите, как определяются эти три типа мощности при резистивной нагрузке, при реактивной нагрузке и при резистивно-реактивной нагрузке (см. рисунки ниже).

Как правильно рассчитать

Активная мощность, как сделать правильный расчет?

Мощность электрического тока влияет на то, как быстро прибор сможет выполнить работу. К примеру, дорогой обогреватель, имеющий в 2 раза большую мощность, обогреет помещение быстрее, чем два дешевых, с меньшей в 2 раза мощностью. Получается, что выгоднее купить агрегат, имеющий большую мощность, чтобы быстрее обогреть холодное помещение. Но, в то же время, такой агрегат будет тратить существенно больше энергии, чем его более дешевый аналог.

Потребляемая мощность всех приборов в доме учитывается и при подборе проводки для прокладки в доме. Если не учитывать этого и в последующем включить в сеть слишком много приборов, то это вызовет перегрузку сети. Проводка не сможет выдержать мощность электрического тока всех приборов, что приведет к плавлению изоляции, замыканию и самовоспламенению проводки. В результате может начаться пожар, который может привести к непоправимым последствиям.

Однофазный синусоидальный ток в электрических цепях вычисляется по формуле Р = U x I x cos φ, где υ и Ι. Их обозначение шифруется следующим образом: среднеквадратичное значение напряжение и тока, а φ — фазный угол фаз между ними.

Для цепей несинусоидального тока электрическая ёмкость равна корню квадратному из суммы квадратов активной и реактивной производительности. Активная производительность характеризуется скоростью, которая имеет необратимый процесс преобразования электрической энергии в другие виды энергии. Данная ёмкость может вычисляться через силу тока, напряжение и активную составляющую сопротивления цепи r или её проводимость g по формуле P = I(2) x r = U(2) x g.

Реактивная мощность (Reactive Power)

Следует заметить, что:

• резистор потребляет активную мощность и отдаёт её в форме тепла и света.
• индуктивность потребляет реактивную мощность и отдаёт её в форме магнитного поля.
• конденсатор потребляет реактивную мощность и отдаёт её в форме электрического поля.

В любой электрической цепи как синусоидального, так и несинусоидального тока активная способность всей цепи равна сумме активных мощностей отдельных частей цепи, для трёхфазных цепей электрическая емкость определяется как сумма пропускной способности отдельных фаз. С полной производительностью S, активная связана соотношением P = S x cos φ.

В теории длинных линий (анализ электромагнитных процессов в линии передачи, длина которой сравнима с длиной электромагнитной волны) полным аналогом активной мощности является проходящая мощность, которая определяется как разность между падающей мощностью и отраженной производительностью.

Как найти реактивную полную мощность через активную? Данная производительность, характеризующая нагрузки, создаваемые в электротехнических устройствах колебаниями энергии электромагнитного поля в цепи синусоидального переменного тока, равна произведению среднеквадратичных значений напряжения U и тока I, умноженному на синус угла сдвига фаз φ между ними: Q = U x I x sin φ (если ток отстаёт от напряжения, сдвиг фаз считается положительным, если опережает — отрицательным).

Обозначение реактивной величины

Сдвиг фаз между напряжением и током

Фазовый сдвиг – показатель, описывающий разность исходных фаз двух параметров, имеющих свойство меняться во времени с одинаковыми скоростями и периодами. Именно сдвиг между силой и напряжением определяет, сколько будет значение угла фи.

В радиотехнической промышленности используются цепочки для получения асинхронного хода. Одна RC-цепь создает 60-градусный сдвиг, для получения 180-градусного для трехфазной структуры организуют последовательное соединение трех цепочек.

При трансформации электродвижущей силы во вторичных обмотках прибора для всех вариаций тока ее значение идентично по фазе таковому для первичной обмотки. Если обмотки трансформатора включить в противофазе, значение напряжения получает обратный знак. Если напряжение идет по синусоиде, происходит сдвиг на 180 градусов.

В простом случае (к примеру, включение электрического чайника) фазы двух показателей совпадают, и они в одно и то же время достигают пиковых значений. Тогда при расчете потребительской мощности применять угол фи не требуется. Когда к переменному току подключен электродвигатель с составной нагрузкой, содержащей активный и индуктивный компоненты (двигатель стиральной машинки и т.д.), напряжение сразу подается на обмотки, а ток отстает вследствие действия индуктивности. Таким образом, между ними возникает сдвиг. Если индуктивный компонент (обмотки) подменен использованием достижений химии в виде емкостного аккумулятора, отстающей величиной, напротив, оказывается напряжение.

Косинус фи не следует путать с другим показателем, рассчитываемым для комплексных нагрузок, – коэффициентом демпфирования. Он широко используется в усилителях мощности и равен частному номинального сопротивлению прибора и выходному – усилка.

Угол фазового сдвига

Виды мощностей

Мощностью называется измеряемая физическая величина, которая равна скорости изменения с преобразованием, передачей или потреблением системной энергии. Согласно более узкому понятию, это показатель, который равен отношению затраченного времени на работы к самому периоду, который тратится на работу. Обозначается в механике символом N. В электротехнической науке используется буква P. Нередко можно увидеть также символ W, от слова ватт.

Мощность переменного тока -это произведение силы тока с напряжением и косинусом сдвига фаз. При этом беспрепятственно можно посчитать только активную и реактивную разновидность. Узнать полное мощностное значение можно через векторную зависимость этих показателей и площади.

Основные мощностные разновидности

Активная мощность

Активной называется полезная сила, определяющая процесс прямого преобразования электроэнергии в необходимый вид силы. В каждом электроприборе преобразовывается она по-своему. К примеру, в лампочке получается свет с теплом, в утюге — тепло, а в электрическом двигателе — механическая энергия. Соответственно, показывает КПД устройства.

Активная разновидность

Реактивная мощность

Реактивной называется та, которая определяется при помощи электромагнитного поля. Образуется при работе электроприборов

Обратите внимание! Это вредная и паразитная мощностная характеристика, которая определяется тем, каков характер нагрузки. Для лампочки она равняется нулю, а для электродвигателя она может быть равна большим значением

Разница между величинами в том, что активно действующая мощностная характеристика показывает КПД устройств, а реактивная является передачей этого КПД. Разница также наблюдается в определении, символе, формуле и значимости.

Обратите внимание! Что касается значения, то вторая нужна лишь для того, чтобы управлять создавшимся напряжением от первой величины и преодолевать мощностные колебания. Обе измеряются в ваттах и имеют большое значение в электромагнитном излучении, механической форме генератора или акустической волне

Активно применяются в промышленности.

Реактивная разновидность

Полная мощность

Полная — это сумма активной с реактивной мощностью. Равна сетевому мощностному показателю. Это произведение напряжения с током в момент игнорирования фазы угла между ними. Вся рассеиваемая с поглощаемой и возвращаемой энергией — это полная энергия.

Это произведение напряжения и тока, единица измерения которого это ватт, перемноженный на ампер. При активности цепи, полная равняется активной. Если речь идет об индуктивной или емкостной схеме, то полная больше, чем активная.

Полная разновидность

Комплексная мощность

Это сумма всех мощностных показателей фаз источника электроэнергии. Это комплексный показатель, модуль которого равняется полному мощностному показателю электроцепи. Аргументом является фазовый сдвиг между электротоком с сетевым напряжением. Может быть выражена уравнением, где суммарный мощностный показатель, который генерируют источники электроэнергии, равен суммарному мощностному показателю, который потребляется в электроцепи.

Обратите внимание! Вычисляется посредством использования соответствующей формулы. Так, необходимо комплексное напряжение перемножить на комплексны ток или же удвоенное значение комплексного тока перемножить на импеданс

Также можно удвоенное значение комплексного напряжения поделить на удвоенное значение импеданса.

Комплексная разновидность

Способы увеличения «косинуса фи»

Вышеперечисленные последствия низкого cos φ с достаточной убедительностью говорят о том, что необходимо вести борьбу за высокий cos φ. К мерам увеличения cos φ относятся:

1. Правильный выбор типа, мощности и скорости вновь устанавливаемых двигателей;
2. Увеличение загрузки двигателей;
3. Недопущение работы двигателей вхолостую продолжительное время;
4. Правильный и высококачественный ремонт двигателей;
5. Применение статических (то есть неподвижных, невращающихся) конденсаторов.

Малый вес конденсаторов, отсутствие вращающихся частей, незначительные потери энергии в них, легкость обслуживания, безопасность и надежность в работе дают возможность широкого применения статических конденсаторов для повышения cos φ двигателей.

Подбирая величину емкости при параллельном соединении и емкости, можно добиться уменьшения угла сдвига фаз между напряжением и общим током при неизменной активной и реактивной мощности, потребляемой ветвью с индуктивностью. Этот угол можно сделать равным нулю. Тогда ток, текущий на общем участке цепи, будет иметь наименьшую величину и совпадать по фазе с напряжением сети.

Это явление называется компенсацией сдвига фаз и широко используется на практике. По экономическим соображениям невыгодно доводить угол φ до нуля, практически целесообразно иметь cos φ = 0,9 – 0,95.

Рассмотрим расчет емкости конденсаторов, которые нужно включить параллельно индуктивной нагрузке, чтобы повысить cos φ до заданной величины.

На рисунке 1, а изображена схема включения индуктивной нагрузки в сеть переменного тока. Для увеличения коэффициента мощности параллельно потребителю включена батарея конденсаторов. Векторная диаграмма начинается с построения вектора напряжения U. Ток I₁ вследствие индуктивного характера нагрузки отстает по фазе от напряжения сети на угол φ₁. Необходимо уменьшить угол сдвига фаз между напряжением U и общим током до величины φ. Иначе говоря, увеличить коэффициент мощности от значения cos φ₁ до значения cos φ.

Рисунок 1. Увеличение cos φ при помощи статических конденсаторов:а – схема включения; б – векторная диаграмма

Отрезок ос, представляющий активную слагающую тока I₁, равен:

ос = I₁ × cos φ₁ = оа × cos φ₁ .

Пользуясь выражением мощности переменного тока

P = U × I × cos φ ,

отрезок ос выразим так:

Ток на общем участке цепи I равен геометрической сумме тока нагрузки I₁ и тока конденсатора I_C.

Из треугольника оас и овс имеем:

ас = ос × tg φ₁ ;bс = ос × tg φ .

Из диаграммы получаем:

ab = od – ac – bc = ос × tg φ₁ – ос × tg φ = oc × (tg φ₁ – tg φ) .

Так как

abI_C

Вместе с этим, как было указано выше,

I_C = U × ω × C .

Следовательно,

Пример 1. Электрические двигатели шахты потребляют мощность 2000 кВт при напряжении 6 кВ и cos φ₁ = 0,6. Требуется найти емкость конденсаторов, которую нужно подключить на шины установки, чтобы увеличить cos φ до 0,9 при f = 50 Гц.

Решение.

cos φ₁ = 0,6;     φ₁ = 53°10’;     tg φ₁ = 1,335;

cos φ = 0,9;     φ = 25°50’;     tg φ = 0,484;

Что такое полная мощность на примере простой R-L цепи

Графики изменения мгновенных значений u,i:

Графики изменения мгновенных значений u,i:

φ — фазовый сдвиг между током и напряжением

Уравнение для S примет следующий вид 

Подставим вместо  и заменим амплитудные значения на действующие:

Значение S рассматривается как сумма двух величин , где

 и  — мгновенные активные и реактивные мощности на участках R-L.

Графики p,q,s:

Как видим из графика, наличие индуктивной составляющей повлекло за собой появление отрицательной части в полной мощности (заштрихованная часть графика), что снижает ее среднее значение. Это происходит из-за фазового сдвига, в какой-то момент времени ток и напряжение находятся в противофазе, поэтому появляется отрицательное значение S.

Итоговые выражения для действующих значений:

Активная составляющая сети выражается в ваттах (Вт), а реактивная в вольт-амперах реактивных (вар).

Полная мощность сети S, обусловлена номинальными данными генератора. Для генератора она обусловлена выражением:

Для нормальной работы генератора ток в обмотках и напряжение на зажимах не должны превышать номинальные значения I_н, U_н.  Для генератора значения P и S одинаковы, однако все-таки на практике условились S выражать в вольт-амперах (ВА).

Также энергию сети можно выразить через каждую составляющую отдельно:

Где S, P, Q – соответственно активное, реактивное и полное сопротивление сети. Они образуют треугольник мощностей:

Треугольник мощностей с преобладающей индуктивной нагрузкой

Если вспомнить теорему Пифагора, то из прямоугольного треугольника можно получить такое выражение:

Реактивная составляющая в треугольнике является положительной (Q_L), когда ток отстает от напряжения, и отрицательной (Q_C), когда опережает:

Треугольник мощностей с преобладающей емкостной нагрузкой

Для реактивной составляющей сети справедливо алгебраическое выражение:

Из чего следует что индуктивная и емкостная энергия взаимозаменяемы. То есть если вы хотите уменьшить влияние индуктивной части цепи, вам необходимо добавить емкость, и наоборот. Ниже пример данной схемы :

Схема компенсации реактивной составляющей

Векторная диаграмма показывает влияние конденсатора на cosφ. Как видно, что при включении конденсатора cosφ₂> cosφ₁ иI_л<I.

Векторная диаграмма

Связь между полной и реактивной энергии выражается:

Отсюда:

сosφ – это коэффициент мощности. он показывает какую долю от полной энергии составляет активная энергия. Чем ближе он к 1, тем больше полезной энергии потребляется из сети.

Соединение в треугольник электроприемников и конденсаторных батарей.

Соединение в треугольник обмоток электродвигателей показано на рисунках 4, а – в. При этом на рисунке 4, а обмотки и соединены и расположены треугольником; на рисунке 4, б обмотки соединены треугольником, но расположены произвольно; на рисунке 4, в обмотки расположены звездой, но соединены в треугольник. На рисунке 4, г обмотки расположены треугольником, но соединены в звезду.

Рисунок 4. Соединение в треугольник электроприемников.

Все эти рисунки подчеркивают, что дело отнюдь не в том, как расположены изображения электроприемников на чертежах (хотя их часто удобно располагать в соответствии с видом соединения), а в том, что с чем соединено: концы (начала) всех обмоток между собой или конец одной обмотки с началом другой. В первом случае получается соединение в звезду, во втором – в треугольник.

Соединение в треугольник конденсаторных батарей показано на рисунке 4, д.

На рисунке 4, е показано соединение в треугольник ламп. Хотя лампы территориально разбросаны по разным квартирам, но они объединены сначала в группы в пределах каждой квартиры, затем в группы по стоякам 2 и, наконец, эти группы соединены в треугольник на вводном щите 1. Заметьте: до вводного щита нагрузка трехфазная, после вводного щита (в стояках и квартирах) однофазная, хотя она и включена между двумя фазами.

На каком основании нагрузка, питающаяся от двух фаз названа однофазной? На том основании, что изменения тока в обоих проводах, к которым присоединена нагрузка, происходят одинаково, то есть в каждый момент ток проходит через одни и те же фазы.

Видео 1. Соединение треугольником

1 Отсутствие тока в замкнутом контуре еще не означает, что в фазных обмотках нет тока. Токи в фазных обмотках соответствуют их нагрузкам.

Выводы обмоток

Для сетей переменного тока 50 Гц линейное напряжение выше фазного в квадратный корень из трёх раз то есть примерно в 1.

От того, выберем мы один или другой, будет зависеть в какую сторону начнет вращаться двигатель. Однако, по крайней мере, можно использовать 3-фазное подключение треугольником. Это позволяет использовать по полной КПД электродвигателя, согласно техпаспорта.

У каждого конца свое буквенное и числовое обозначение. На рисунке 4 приведена схема включения в трехфазную четырехпроводную сеть осветительной и силовой нагрузок.

К тому же агрегат сильно нагревается в процессе работы. Поэтому электродвигатели асинхронного типа со средней и большой мощностью чаще всего подключают по схеме звезда.

Концы всех трех обмоток соединяют в одну общую точку, так называемую нейтраль. При помощи тестера провода прозванивают, чтобы найти катушки. По полученным векторным уравнениям можно для равномерной нагрузки фаз построить векторную диаграмму рис.

Концы всех трех обмоток соединяют в одну общую точку, так называемую нейтраль. В таком случае этот двигатель можно будет использовать как в трёхфазной сети с линейным напряжением В подключение звезда , так и в однофазной сети В подключение треугольником через конденсатор. Форму треугольника предает эргономичное размещение соединения обмоток. При замыкании цепи поплавком будет замыкаться цепь катушки пускателя, и включаться электродвигатель, при размыкании — будет отключаться питание электродвигателя.

К тому же агрегат сильно нагревается в процессе работы. Фазные обмотки генератора образуют замкнутый контур с малым внутренним сопротивлением.

При большой мощности двигателя, в схему потребуется внесение пускового конденсатора. Каминский, г. Сдвиг на такой угол предназначен для создания вращения магнитного поля. Это может произойти из-за неисправного пускателя, или при перекосе фаз когда напряжение в одной из фаз сильно меньше, чем в двух других.
Подключение трехфазного двигателя по схеме звезды и треугольника

https://youtube.com/watch?v=PjZextDphQU

Оцените статью:

Что такое косинус фи в электрике

Автор: Евгений Живоглядов.
Дата публикации: 23 августа 2018.
Категория: Статьи.

Допустим, вы купили компрессор для полива растений или электродвигатель для циркулярной пилы. В инструкции по эксплуатации помимо основных технических характеристик (таких, как потребляемый ток, рабочее напряжение, частота вращения) вы можете обнаружить такой непонятный показатель, как косинус фи (cos ϕ). Данная информация может быть указана и на пластинке (шильдике), закрепленной на корпусе прибора. В нашей статье мы постараемся объяснить простым и доступным языком  всем, даже пользователям далеким от электротехнических тонкостей, как тригонометрическая функция (знакомая нам со школьной скамьи) влияет на работу всем нам привычных электробытовых приборов, и почему ее называют коэффициентом мощности.

Важно! Все нижесказанное касается только сетей переменного тока.

Далекий от электротехники, но весьма наглядный пример

Чтобы объяснить, каким образом угол ϕ (а точнее его косинус) влияет на мощность, рассмотрим пример, не имеющий никакого отношения к электротехнике. Допустим нам необходимо передвинуть тележку, стоящую на рельсах. Чтобы удобнее было производить данную операцию, к ее передней части прикрепляем канат.

Если мы будем тянуть за веревку прямо вперед по направлению движения, то для перемещения тележки нам понадобится приложить достаточно небольшое усилие. Однако если находиться сбоку от рельсов и тянуть за канат в сторону, то для движения тележки с такой же скоростью необходимо будет приложить значительно большее усилие. Причем чем больше угол (ϕ) между направлением движения и прикладываемым усилием, тем больше «мощности» потребуется от нас.

Вывод! То есть, увеличение угла ϕ ведет к увеличению расходуемой нами энергии (при одной и той же выполненной работе).

Сдвиг фаз между напряжением и током

При использовании энергии переменного тока происходит приблизительно то же самое. При активной нагрузке (например, при включении электрочайника или лампы накаливания) переменные напряжение (U) и ток (I) полностью совпадают по фазе и одновременно достигают своих максимальных значений. В данном случае мощность потребителя электроэнергии можно рассчитать по формуле P=U•I.

Для сети переменного тока работающий электродвигатель, имеющийся, например, в стиральной машине, является комплексной нагрузкой, включающей в себя активную и индуктивную составляющие. При подаче напряжения на такой прибор оно появляется на обмотках, практически, мгновенно. А вот ток (из-за влияния индуктивности) запаздывает. То есть между ними образуется так называемый сдвиг фаз, который мы и называем ϕ.

При активно-емкостной нагрузке, наоборот, переменный ток сразу начинает течь через конденсатор, а напряжение отстает от него по фазе на величину ϕ.

Треугольник мощностей

Коэффициент мощности (PF) – это отношение мощностей: активной полезной (P) к полной (S). Чтобы показать, каким образом сдвиг фаз влияет на PF, используем так называемый треугольник мощностей. И вот тут-то нам и потребуются минимальные знания школьной тригонометрии.

Из теории о прямоугольных треугольниках всем нам известно, что cos ϕ=P/S. То есть, косинус фи — это и есть коэффициент мощности (PF), который показывает, какая часть от полной мощности (S= U•I) фактически необходима для конкретной нагрузки. Чем больше реактивная составляющая Q, тем меньше полезная P. Чтобы вычислить активную мощность необходимо полную S умножить на косинус фи: P= S•cos ϕ.

На заметку! Считать косинус фи абсолютным аналогом коэффициента мощности можно только при том условии, что мы имеем в электрической сети идеальную синусоиду. Для более точного расчета необходимо учитывать нелинейные искажения, которые имеют переменные напряжение и ток. На практике, зачастую коэффициентом нелинейных искажений синусоиды пренебрегают, и значение косинуса фи принимают за приближенное значение коэффициента мощности.

Усредненные значения коэффициента мощности

Лампы накаливания и электрические нагревательные элементы, хотя и имеют в своих конструкциях спирали, намотанные с помощью специального провода, считаются чисто активной нагрузкой для сетей переменного тока. Так как индуктивность этих элементов настолько мала, что ею, как правило, просто пренебрегают. Для таких приборов cos ϕ (или коэффициент мощности) принимают равным 1.

В разнообразных электрических ручных инструментах (дрелях, перфораторах, лобзиках и так далее) индуктивная составляющая мощности достаточно мала. Для них принято считать cos ϕ≈0,96÷0,97. Этот показатель достаточно близок к единице, поэтому его, практически, никогда не указывают в технических характеристиках.

Для мощных электродвигателей, люминесцентных ламп и сварочных трансформаторов cos ϕ≈0,5÷0,82. Этот коэффициент мощности необходимо учитывать, например, при выборе диаметра питающих проводов, чтобы они не нагрелись, и не сгорела их изоляция.

На что влияет низкий коэффициент мощности

К чему могут привести низкие показатели коэффициента мощности:

• При низком PF возрастает потребляемый нагрузкой ток. cos ϕ=P/S=P/(U•I), следовательно I=P/(U•cos ϕ). Допустим, для конкретной нагрузки необходима активная мощность P=10000 ВА при напряжении U=220 В. В идеальном варианте PF=cos ϕ=1. Тогда ток нагрузки: I=10000/(220•1)≈45 А. При PF=0,8  I=10000/(220•0,8)≈57 А. То есть при снижении PF с 1 до 0,8 ток возрастет приблизительно на 20%. Значит, это приведет к излишним затратам на электроэнергию.
• Снижение коэффициента мощности, и как следствие увеличение тока приводит к значительным энергетическим потерям в проводах, которые по закону Ома равны I•R², где R – активное сопротивление проводников. Для уменьшения этих потерь приходится увеличивать диаметр проводов, что опять же приводит к излишним экономическим затратам.
• Вышеуказанные потери расходуются на выделение тепла. В этом случае придется применять более термостойкие, а следовательно, и более дорогие изоляционные материалы).

В заключении

Смело можно утверждать, что чем ближе значение PF к единице, тем эффективнее используется электроэнергия. В некоторых мощных приборах производители устанавливают специальные приспособления, которые позволяют осуществлять коррекцию коэффициента мощности.

Коэффициент мощности или косинус фи индукционного электрокотла

Эффективность индукционных электрических котлов в системах теплоснабжения непосредственно связана с понятием «косинуса фи». Для специалистов-энергетиков вопрос «что такое «косинус фи», конечно, вопросом не является, однако для всех остальных этот термин может показаться непонятным. В этой статье мы разберемся с этим понятием и поймем, почему «косинус фи» индуктивно-кондуктивных нагревателей «Терманик», равный 0,985, – это так важно с точки зрения оценки эффективности индукционных нагревателей. Причем, как обычно, не будем сыпать сложными определениями и формулами, ведь мы хотим разобраться и понять, а не написать курсовую работу!

cos_φ — именно так обозначается это понятие – это отношение активной мощности к полной. cosφ не измеряется ни в Ваттах, ни в Герцах – ни в чем, потому как это коэффициент и является относительной величиной. Он может варьироваться от 0 до 1. И чем ближе к 1, тем лучше. Также этот коэффициент называется «коэффициентом мощности».

Откуда же он берется? Введем некоторые понятия. Любой прибор, имеющий в своем составе электрические элементы, создает электромагнитное поле, а для трансформатора или индукционного нагревателя, электромагнитное поле – это то, ради чего и создается прибор, так как если он не будет генерировать магнитное поле, он не будет работать, то есть станет бесполезной железякой. Возьмем, к примеру, индукционный электронагреватель «Терманик 100» с заявленной заводом-изготовителем мощностью 100 кВт. С точки зрения владельца «Терманика» — это нагреватель, который потребляет электроэнергию и производит тепло. А с точки зрения поставщика электроэнергии, «Терманик» — это нагрузка, то есть потребитель мощностью… 102 кВА. Что за разница в показаниях? И почему одна мощность измеряется в кВт, а другая – в кВА?

Дело в том, что в сети переменного тока различают активную, реактивную и полную мощность. Собственно говоря, полная мощность и состоит из двух составляющих – активной и реактивной мощности. Активная мощность – это та самая мощность, потребляя которую, электронагреватель  и вырабатывает тепловую энергию, она-то и измеряется в кВт (и для нагревателя «Терманик 100» составляет 100 кВт). Но какая-то часть мощности тратится не на нагрев, а на поддержание работы самого нагревателя. В случае с индукционным нагревателем – на создание и поддержание магнитного поля, без которого он бы не работал вообще. Эта мощность и является «реактивной мощностью». Несмотря на свое название, к работе реактивного двигателя она не имеет никакого отношения. В данном случае, «реактивный» — значит направленный в противоположном от движения электротока направлении. Реактивная мощность измеряется в вольт-амперах реактивных (Вар, кВАр), а общая мощность измеряется в кВА.

Коэффициент мощности, он же cos_φ — это отношение активной мощности к полной. Физически он показывает, какая часть полной мощности идет на совершение полезной работы (в нашем случае – на преобразование в тепло), а какая – на поддержание работоспособности самого устройства. Если наш нагреватель обладает коэффициентом мощности 0,985, значит 98,5% мощности идет на нагрев и только 1,5% преобразуется в реактивную мощность.

Так и получается, что 102 кВА х 0,985 = 100 кВт

Реактивная мощность сама по себе не совершает полезную работу, хотя, как ни парадоксально, является необходимой составляющей для ее осуществления. Реактивная мощность возвращается обратно в электросеть.

Реактивная мощность и энергия снижают показатели эффективности энергосистемы, то есть загрузка реактивными токами генераторов электростанций увеличивает расход топлива, растут  потери в подводящих сетях и приемниках, увеличивается падение напряжения в сетях. Строго говоря, большая реактивная мощность – это скорее головная боль поставщика электроэнергии. Однако и для потребителя это важно, поскольку, чем меньше реактивной мощности выдает его оборудование, тем меньше нагрузка на понижающие силовые трансформаторы, меньше нагрузка на провода и возможность использования кабелей меньшего сечения, избежание штрафов за низкий cos

_φ (есть и такие!), ну и, в целом, снижение потребления электроэнергии.

Значение коэффициента мощности выше 0,9 говорит о высокой эффективность индукционных нагревателей. Ни для кого не секрет, что индукционный нагреватель небольшой мощности можно собрать и «в гараже», возможно, его даже можно будет эксплуатировать, однако если говорить о промышленном предприятии, где совокупное значение вырабатываемой всеми приборами и устройствами реактивной мощности, чрезвычайно важно, там могут применяться только высокопроизводительные машины с максимальным коэффициентом мощности.

Cos фи или коэффициент реактивной мощности

Поиск по названию: Поиск по артикулу: Поиск по тексту: Цена: от: до: Выберите категорию Все »Лампы »»Светодиодные лампы »»»Замена лампы накаливания до 60 Вт. »»»Замена ламп накаливания до 100 Вт. »»»Замена галогенных ламп »»»Диммируемые светодиодные лампы »»»Мощные светодиодные лампы »»»Декоративные лампы »»»Лампы для холодильников и швейных машин »»»Замена люминесцентных ламп »»»Лампы GX53 и GX70 »»Фитолампы »»Ретро лампы »»Лампы 12 Вольт »»Диско лампа »»Лампы энергосберегающие »»»Аналоги ламп накаливания до 60 Вт. »»»»Теплый свет лампы »»»»Холодный свет лампы »»»Аналоги ламп накаливания до 100 Вт. »»»»Теплый свет лампы »»»»Холодный свет лампы »»»Аналоги ламп накаливания до 500 Вт. »»»»Теплый свет лампы »»Лампы накаливания »»Лампы люминесцентные »»»Лампы Т4 люминесцентные »»»Лампы Т5 люминесцентные »»»Лампы Т8 люминесцентные »»Лампы галогенные »»»Лампы галогенные декоративные »»»Лампы галогенные G4, GU 5.3, GU10 »»»Блоки защиты галогенных ламп »»Лампы металлогалогенные »»Лампы ртутные и натриевые »Светильники »»Светодиодные светильники LED »»»Потолочные светодиодные светильники »»»»Светодиодный светильник под Армстронг »»»»Встраиваемые светодиодные светильники »»»»Накладные светодиодные светильники »»»»Точечные светодиодные светильники »»»»Крепления для потолочных светильников »»»Настольные светодиодные светильники »»»Прожекторы светодиодные »»»Светодиодные светильники уличного освещения »»»Для ЖКХ »»Для дома »»»Потолочные светильники, люстры »»»»Светильники под лампу накаливания »»»»Люстры »»»»Люминесцентные светильники »»»Настенные светильники, бра »»»»Светильники под лампу накаливания »»»»Люминесцентные светильники »»»Ночники »»»Для ванной и туалета »»»Для кухни »»»Точечные светильники »»»Настольные светильники »»Светильники лофт »»Диско шар »»Для дачи »»Для теплицы »»Для бани и сауны »»Для гаража и подвала »»Для производства »»Для офиса »»Для склада и производства »»Для улицы »»»Кронштейны для уличных светильниов »»Светильники для сада и парка »»Для подсветки »»Для спортивного зала »»Для магазина »»Переносные светильники »»Аварийные светильники »»Аккумуляторные светильники »»Патроны к светильникам »Светодиодная подсветка »»Светодиодная подсветка потолка »»»Светодиодная гибкая лента для помещений на самоклеющейся основе ULS-3528 »»» Светодиодная гибкая лента для помещений на самоклеющейся основе ULS-5050 »»»Светодиодная гибкая герметичная лента ULS-3528 »»»Светодиодная гибкая герметичная лента ULS-5050 »»»Драйверы для светодиодов »»»Контроллеры для управления светодиодными источниками света »»Светодиодная подсветка шкафа »»Электронные трансформаторы »Стабилизаторы напряжения »»Однофазные стабилизаторы напряжения »»Стабилизаторы напряжения напольные, электронные »»Стабилизаторы напряжения настенные, релейные »»Стабилизаторы напряжения настольные »»Стабилизаторы напряжения электромеханические »Низковольтная аппаратура »»Автоматические выключатели »»»Автоматы для проводов сечением до 25мм. »»»»Для дома, характеристика B »»»»Для дома, характеристика C »»»»Для производства, характеристика D »»»Автоматы для проводов сечением до 35мм. »»»»Для дома, характеристика C »»»»Для производства, характеристика D »»»Автоматы для проводов сечением до 50мм. »»»»Для дома, характеристика C »»»»Для производства, характеристика D »»»Автоматы промышленные ВА88 »»УЗО »»Дифференциальные автоматы »»»Серия АВДТ 63 »»»Серия АВДТ 64 с защитой »»»Дифавтоматы АД12, АД14 »»»Серия DX »»Разрядники, ограничители импульсных перенапряжений »»Выключатель нагрузки (мини-рубильник) »»Предохранители »»»Плавкие вставки цилиндрические ПВЦ »»»Предохранители автоматические резьбовые ПАР »»»Предохранители ППНН »»Контакторы »»»Контакторы модульные серии КМ63 »»»Контакторы малогабаритные КМН »»»Контакторы КМН в оболочке IP54 »»Пускатели ручные »Электроустановочные изделия »»Выключатели »»»Выключатели внутренние »»»Выключатели накладные »»Розетки »»»Розетки внутренние »»»»Серия INARI »»»»Серия LARIO »»»»Серия VATTERN »»»»Серия MELAREN »»»»Розетки, выключатели Legrand Valena »»»Розетки накладные »»»»Серия SUNGARY »»»»Серия BALATON »»»»Серия SAIMA »»Коробки монтажные, подрозетники »»»Монтажные коробки для открытой проводки »»»Монтажные коробки для скрытой проводки »»Удлинители электрические »»»Удлинители бытовые »»»Удлинители силовые »»Сетевые фильтры »»Тройники электрические »»Вилки электрические »»Силовые разъёмы »»»Вилки переносные »»»Розетки стационарные »»»Розетки переносные »»»Розетки стационарные для скрытой установки »»»Вилки стационарные »Щитовое оборудование »»Корпуса к щитам электрическим »»»Для помещения »»»»Пластиковые боксы »»»»»Боксы пластиковые навесные »»»»»Боксы пластиковые встраиваемые »»»»»Бокс КМПн »»»»Металлические корпуса »»»»»Щиты распределительные »»»»»Щиты учётно-распределительные »»»»»Щиты с монтажной панелью »»»»»Щиты этажные »»»»Шкафы напольные »»»»»Сборно-разборные шкафы »»»»»Моноблочные шкафы »»»»»Аксессуары к шкафам »»»Для улицы IP65 »»Электрощиты в сборе »»»Ящики с понижающим трансформатором (ЯТП) »»»Ящики с рубильником и предохранителями (ЯРП) »»»Ящики с блоком «рубильник-предохранитель» (ЯБПВУ) »»»Щитки осветительные (ОЩВ) »»Аксессуры для шкафов и щитов »»»Шина нулевая »»»Шина нулевая на DIN-рейку в корпусе »»»Шина N нулевая с изолятором на DIN-рейку »»»Шина N нулевая, в изоляторе »»»Шина N нулевая на угловых изоляторах »»»Шина соединительная »»»DIN-рейки »Фонарики »»Фонарики налобные »»Фонари прожекторы »»Фонари ручные »»Фонари кемпинговые »»Фонари с зарядкой от сети »»Фонари для охоты »Провод, Кабель »»Кабель »»»Кабель медный NYM (3-я изоляция, еврост.) »»»Кабель медный силовой ВВГ-нг »»»Кабель медный силовой ВВГ »»»Кабель алюминиевый АВВГ, АВВГп »»»Кабель бронированный »»Провод »»»Провод медный »»»Провод медный осветительный ПУНП, ПУГНП »»»Провод монтажный »»»Провод медный гибкий соединительный ПВС »»»Провод медный гибкий соединительный ШВВП (ПГВВП) »»»Провод медный установочный ПВ »»»Провод водопогружной ( ВВП) »»»Провод алюминиевый »»»Провод телефонный »»»Провод ВВП »Звонки дверные »»Звонки беспроводные »»»1 звонок + 1 кнопка »»»1 звонок + 2 кнопки »»»2 звонка + 1 кнопка »»»1 звонок (вилка 220В) + 1кнопка (батарейка А23) »»Звонки проводные »Системы для прокладки кабеля »»Кабельные каналы »»Гофрированные трубы »»»Аксессуары для труб »»Металлорукав »»»Аксессуары для металлорукава »»»Металлорукав в ПВХ-изоляции »»Труба ПВХ »»»Аксессуары для труб »»Лотки металлические »Климатическое оборудование »»Тепловые пушки и вентиляторы »»»Тепловые пушки »»»Масляные радиаторы »»»Тепловентиляторы электрические »»»»Керамические обогреватели »»»»Спиральные обогреватели »»Охлаждаемся, климатическое оборудование »»»Кондиционеры напольные »Инструмент, расходные материалы »»Инструмент »»Изоляция »»»Термоусаживаемая трубка ТУТнг »»»Изолента »»Клеммы, зажимы »»»Строительно-монтажная клемма КБМ »»»Зажим винтовой ЗВИ »»»Соединительный изолирующий зажим СИЗ »»Хомуты, скобы »»»Лента спиральная монтажная пластиковая ЛСМ »»»Хомут нейлон »»»Хомут полиамид »»»Кабельный хомут с горизонтальным замком »»»Скоба плоская »»»Скоба круглая »Умный дом »»Датчики движения »»Дистанционное управление »»Фотореле Производитель: ВсеFamettoGaladLegrandTDMUnielVolpeКМ-ПрофильРесантаРоссияСтарлайтСтройСнаб

Чем ближе cos фи к единице — тем лучше.  Если, например, на электроприборе указан cos фи 0,7 и мощность 1 тыс. ватт (1 Квт.), это означает, что прибор потребляет в реальности 1,4 Квт. Это необходимо учитывать при установке розетки, подключении удлинителя, сетевого фильтра или стабилизатора.  Это значение важно только для предприятий, которые платят за активную и реактивную мощность. Частникам (читай для квартир) это не сильно критично, с точки зрения оплаты за электроэнергию.  Если на лампе указана мощность, например, в 10 Вт (активная мощность), cos фи равен 0,9, то потребляемая светильником «полная мощность» будет 10/0,9=11,11 Вт, таким образом, предприятие будет платить за полную мощность за 11,11, а квартирант только за 10 Вт.  Под понятием «полная мощность» подразумевается вся та мощность, которая потребляется электроприбором и включает в себя активную (мощность) составляющую и реактивную (мощность) составляющую. Активная (мощность) составляющая — энергия, которая превращается в полезную работу и трансформируется, например, в свет. Реактивная (мощность) составляющая — энергия, которая идет на нагрев проводников (проводов), фактически ее можно характеризовать еще, как потери на передачу энергии.  Сos фи — это отношение полной мощности электроприбора к активной мощности.  Чем выше cos фи потребителя, тем меньше будут потери мощности в линии и дешевле обойдётся передача электроэнергии потребителю.  Сos фи показывает нам насколько эффективно используется рабочая мощность потребителя.     Рекомендуем почитать: Обозначение ламп Какие светодиодные лампы лучше?

Косинус Фи — новости АО «ВИЛЕД»

20.02.2017

Автор: ViLED

 

 

Не все знакомы с электротехникой и понимают, что такое косинус фи, на который все обращают внимание. В общем сегодня про косинусе фи. Коротко и доступно о запаздывании тока от напряжения при постоянном и переменном токе, а также почему это вредно электрическим сетям и потребителям.
Приятного просмотра!

Допустим у нас есть 2 провода, в одном из них есть потенциал, пока не важно положительный он или отрицательный, на другом — потенциал равен нулю. Это и есть тот самый ноль, который есть в розетке. Численную разницу между двумя потенциалами называют напряжением.
Как только мы замыкаем эти провода между собой, например подключив лампу накаливания, через нее начинает течь ток. Он нарастает до нужной величины очень быстро, но все же не мгновенно. Это нарастание длится какое-то время, прежде чем ток достигнет определенного значения.
Если подключить последовательно с лампочкой катушку с проводом, она же катушка индуктивности, то она сильно замедлит процесс этого самого нарастания тока. Получается так, что напряжение на лампочке уже есть, но ток в ней нарастает медленно, причина этому — воздействие витков катушки друг на друга.
Когда напряжение постоянное, как в батарейке, ток в катушке замедленно, но все-таки нарастет и остановится на одной величине. Когда переменное — напряжение меняется от положительного, до отрицательного. Это изменение на графике выглядит как волна, ее называют синусоидой. В случае с катушкой в сети переменного напряжение, напряжение постоянно меняясь, не дает току вырасти до установившего значения. И тут говорят о запаздывании тока от напряжения. И чем больше витков в катушке, тем больше это запаздывание.
Так при чем же тут косинус фи. При том, что это запаздывание измеряется углом поворота, где полный цикл волны напряжения это 360 градусов. Угол запаздывания, он же сдвиг, обозначают буквой фи, а значение косинуса этого угла, это и есть наш косинус фи. Чем больше ток запаздывает, тем меньше величина косинуса угла фи.
В качестве справки для любопытных: Сдвиг тока относительно напряжения — это фазовый сдвиг или фазовые искажения. Если к фазовым искажениям прибавить «неидеальность синусоиды напряжения», которая выражается как коэффициент нелинейных искажений (КНИ), то получится коэффициент мощности. Для упрощения, когда говорят коэффициент мощности, подразумевают лишь косинус фи, но стоит помнить, что в коэффициент мощности, помимо косинуса фи входят и нелинейные искажения.
Большое запаздывание тока, или низкий косинус фи — вредное явление. На потребителе это сказывается как увеличенное потребление электроэнергии, т.к. в электрической катушке теряется ее часть, не выполняя полезной работы. На электростанциях это также, негативно сказывается излишне нагружая генераторы и трансформаторы. На потребителях, т.е. нас в вами это сказывается как увеличение энергопотребления без увеличения полезной выполненной работы. В общем, это никому не нужно, ни поставщикам электроэнергии, ни потребителям. Но убрать катушку нельзя, она нужна для работы схемы. Приходится компенсировать ее негативный эффект, используя дополнительные компоненты, но это уже другая история.
Если подвести небольшой итог, то у всех нагревательных приборов, в том числе и ламп накаливания, косинус фи почти равен 1. Почти, т.к. ее спираль имеет витки, и маленькая катушка все-таки получается, но этим пренебрегают и принимают за единицу.
Спасибо за просмотр и не забудьте подписаться на канал.

Компенсация реактивной мощности как фактор энергосбережения — Новости — EKF

Как платить за электричество меньше, повысить КПД оборудования и более эффективно использовать электрическую энергию, — сегодня эти вопросы волнуют многих руководителей производственных предприятий и владельцев коммерческих объектов.

Из данной статьи вы подробнее узнаете, что такое компенсация реактивной мощности, как правильно рассчитать мощность для потребителей и подобрать оборудование, чтобы сократить потери электроэнергии до 65%.

Немного теории

Для оценки и расчетов цепей переменного тока используются действующие значения тока и напряжения.

Действующее значение переменного тока определяется как величина такого эквивалентного постоянного тока, который проходя через то же активное сопротивление, что и переменный ток, выделяет на нем за период то же количество тепла. Математически действующее значение определяется как среднеквадратичное за период.

Полная мощность вычисляется как произведение действующих значений тока и напряжения цепи.

S = U * I
В случае активной нагрузки фазы тока и напряжения совпадают и вся полная мощность выделяется на нагрузке. Расчеты для переменного тока соответствуют анализу цепей постоянного тока, только используются действующие значения тока и напряжения.

Полная мощность фактически показывает требования к электрической сети. Измеряется она в вольт-амперах (ВА).

Если в цепи переменного тока появляются реактивные элементы (индуктивные нагрузки и емкостные нагрузки) расчёты приходится корректировать. Реактивные элементы обладают способностью накапливать энергию и отдавать ее обратно в цепь. Появляется сдвиг фаз между током и напряжением и как следствие появляется реактивная мощность.

Реактивная мощность может быть, как положительной (для индуктивных цепей), так и отрицательной (для емкостной составляющей).

Реактивная мощность не выделяется на нагрузке, не создает полезной работы. Она накапливается на реактивных элементах нагрузки (конденсаторах, катушках индуктивности), а затем возвращается обратно в питающую сеть. Возвращаясь, она увеличивает текущий по проводам ток. Этот реактивный ток, присутствуя в линиях, дополнительно нагревает их. Поэтому в любой энергосистеме стремятся уменьшить реактивную мощность до минимума.

На нагрузке остается активная мощность. Она и совершает полезную работу: приводит в движение двигатель, переходит в световую волну в лампах и др. Активная мощность — это среднее значение мгновенной мощности за период.

Полная мощность в цепях переменного тока равна квадратному корню из суммы квадратов активной и реактивной мощностей.

S = ? ( P2 + Q2)

Активная мощность вычисляется как:
P = I * U * cos ?
I и U это действующие значения тока и напряжения.

Или:

P = S * cos ?
Т.е. активная и полная мощности связаны через коэффициент — cos ?.

Коэффициент мощности – это соотношение полезной активной мощности к полной мощности, то есть cos?=P/S этот коэффициент характеризует, насколько эффективно используется электроэнергия. cos ? – это косинус угла сдвига между напряжением питающей сети и током, потребляемым нагрузкой.

При cos ? = 1 (когда фаза тока совпадает с фазой напряжения) активная мощность на нагрузке равна полной. Вся энергия питающей сети используется для полезной работы. Происходит это только на чисто активной нагрузке, без реактивной составляющей.

Попробуем рассчитать мощность, когда угол между напряжением и током составляет 90 градусов.

На графике ? равно 90 косинус фи (cos?)=0(нулю). Для простоты вычислений возьмем максимальное значение напряжения равное 1 (100%). В этот момент ток равен 0 (нулю). Соответственно их произведение, то есть мощность равны 0(нулю). И наоборот, когда ток максимальный, напряжение равно нулю. Получается, что полезная, активная мощность равна 0 (нулю).

Конечно, устройств с cos ? = 0 на практике не бывает, но промежуточных вариантов может быть множество. Например, бестрансформаторный блок питания, приведенный в качестве примера выше, имеет коэффициент мощности 0,6 — 0,7.

Значимость коэффициента мощности

Приведем простые расчеты, демонстрирующие значимость данного показателя.
Два потребителя электроэнергии с одинаковой активной (полезной) мощностью. У первого cos ? = 1, а у второго – 0,5. Это означает, что второй потребитель потребляет от сети ток в два раза больше, чем первый. Т.к. зависимость потерь в проводах от тока имеет квадратичный характер (P = I2 * R), то потери на активном сопротивлении проводов во втором случае будут в 4 раза больше. Соответственно потребуются провода большего сечения.

Высокий коэффициент мощности особенно важен для мощных нагрузок и длинных линий электропередач.

Реактивная мощность в электрических сетях продуцирует следующие негативные факторы:

• Увеличение потерь в проводниках
• Нагрев проводников вызывает ускорение старения изоляции, снижение срока службы, способствует возникновению коротких замыканий
• Снижение пропускной способности энергосистемы при генерации дополнительной мощности для компенсации потерь
• Нагрев обмоток трансформаторов и снижение нагрузочной способности без видимых причин
• Перегрузка генераторов и трансформаторов.
  Повышение тока из-за низкого коэффициента мощности вызывает перегрузку генераторов и трансформаторов, и, как следствие, уменьшение их срока службы вследствие превышения расчётных характеристик
• Увеличение падения напряжения
  Протекающий по электрическому проводнику ток вызывает падение на нем напряжения, величина которого определяется по закону Ома. Возрастание величины тока из-за низкого значения коэффициента мощности вызывает увеличение падения напряжения, что приводит к снижению напряжения на нагрузке относительно требуемого значения, и приводит к снижению мощности, поступающей на нагрузку

Использование КРМ для снижения нагрузки в электросетях. Виды компенсаторов

Для уменьшения нагрузки в электрических сетях от реактивной мощности применяются компенсаторы реактивной мощности. Это может быть использование синхронного компенсатора. Данное оборудование представлено синхронным двигателем, работающим на холостом ходу. Одновременно с ним применяются системы регулировок, влияющих на эффективность оборудования. Кроме синхронного устройства, компенсация производится с помощью батарей конденсаторов. Этот вариант считается более простым и дешевым в эксплуатации.

Преимущества компенсации реактивной мощности

• Повышение эффективности использования электрической энергии за счет снижения тепловых потерь на передачу электроэнергии.

Снижение тепловых потерь можно рассчитать, если значение тока в законе Джоуля-Ленца выразить через соотношение для активной мощности. Получается следующая зависимость:

Потери комп./Потери нач. =( COS ? нач./ COS ? комп)?

В результате расчётов получаем следующие зависимости:


В таблице показано возможное уменьшение тепловых потерь

COS ? начальнй	COS ? компенсированный
	0,85	0,90	0,95	1,00
0,50	65,40%	69,14%	72,30%	75,00%
0,55	58,13%	62,65%	66,48%	69,75%
0,60	50,17%	55,56%	60,11%	64,00%
0,65	41,52%	47,84%	53,19%	57,75%
0,7	32,18%	39,51%	45,71%	51,00%
0,75	22,15%	30,59%	37,67%	43,75%
0,80	11,42%	20,99%	29,09%	36,00%
0,85	—	10,80%	19,94%	27,75%
0,90	—	—	10,25%	19,00%
0,95	—	—	—	9,75%

• Повышение качества электроснабжения за счёт уменьшения падения напряжения в линии электропередач.

В процессе передачи электроэнергии на расстоянии ток вынужден преодолевать сопротивление (R) проводов, что вызывает падение напряжения в линии. Падения напряжения можно определить по закону Ома. Оно равно произведению величины тока на сопротивление. Если выразить величину тока через активную мощность, то в конце преобразований получим следующее выражение:

?U=?Uкомп./?Uнач.* COS ? нач./ COS ? комп

В таблице показано возможное уменьшение падения напряжения

COS ? начальнй	COS ? компенсированный
	0,85	0,90	0,95	1,00
0,50	41,18%	44,44%	47,37%	50,00%
0,55	35,29%	38,89%	42,11%	45,00%
0,60	29,41%	33,33%	36,84%	40,00%
0,65	23,53%	27,78%	31,58%	35,00%
0,7	17,65%	22,22%	26,32%	30,00%
0,75	11,76%	16,67%	21,05%	25,00%
0,80	5,88%	11,11%	15,76%	20,00%
0,85	—	5,56%	10,53%	15,00%
0,90	—	—	5,26%	10,00%
0,95	—	—	—	5,00%



• Экономия до 30% на оплате электроэнергии. При компенсированном коэффициенте мощности нет необходимости платить за реактивную мощность. Значительное сокращение энергопотребления.
• Увеличение срока службы электрических машин. Недостаток реактивной мощности приводит к увеличению тока, что вызывает снижение срока службы электрооборудования.
• Стоимость прокладки кабеля сокращается до 30%. Оптимизация конструкции оборудования за счёт уменьшения сечения проводников позволяет снизить стоимость используемых материалов.
• Снижения тепловых потерь на передачу электроэнергии. Повышение эффективности использования электроэнергии и качества электроснабжения за счёт уменьшения падения напряжения в линии электропередач.
• Дополнительный прирост мощности системы электроснабжения. При скомпенсированном коэффициенте мощности часть избыточной энергии, высвобождающейся за счёт уменьшения потерь, может быть использована потребителем.



Как выбрать оборудование для компенсации реактивной мощности

Оптимальный выбор оборудования для коррекции коэффициента мощности будет зависеть от типа имеющихся нагрузок и режимов их работы.

Если загрузка оборудования мало подвержена колебаниям, т.е. она почти постоянна, то выгоднее всего использовать индивидуальную компенсацию реактивной мощности. В этом случае конденсатор включается и выключается вместе с относящейся к нему нагрузкой, поэтому компенсация соответствует cos ? нагрузки и синхронизирована с ее суточными колебаниями. Индивидуальная компенсация реактивной мощности наиболее эффективна, если большая часть реактивной мощности потребляется несколькими мощными нагрузками, которые работают непрерывно или длительное время.

рис.1


Индивидуальная компенсация (см. рис.1) реактивной мощности имеет следующие преимущества:
• Компенсация четко соответствует нагрузке
• Конденсаторная батарея может быть размещена непосредственно у нагрузки
• Конденсаторы используются только во время работы нагрузки
• Низкая стоимость установки
• Реактивная мощность полностью исключена из распределительной сети
• Простота установки
• Низкая стоимость решения

Однако во многих системах не все нагрузки задействованы одновременно, и некоторые из них работают всего несколько часов в день. В этом случае индивидуальная компенсация реактивной мощности становится более дорогой из-за необходимости установки большого количества конденсаторов. При этом основная масса конденсаторов не будет использоваться большую часть времени.

рис.2

Если в такой системе часть потребителей всегда работает, а часть стоит, периодически меняясь местами, но суммарная нагрузка получается примерно одинаковая по времени, то используют нерегулируемую групповую компенсацию реактивной мощности (см. рис. 2).

Такая конфигурация имеет следующие преимущества:

• Конденсаторная батарея может быть размещена в щите управления
• Конденсаторы используются только во время работы нагрузки
• Низкая стоимость установки
• Реактивная мощность полностью исключена из распределительной сети

Групповая компенсация имеет и недостаток:

• Распределительная сеть до щита питания нагружена реактивной мощностью

Если потребность в реактивной мощности сильно колеблется, целесообразно использовать батареи с автоматическим регулированием (см. рис. 3), а не конденсаторы, емкость которых постоянна. В этой системе конденсаторы устанавливаются рядом со щитом питания. Суммарная емкость батареи конденсаторов разделяется на ступени. Контроллер регистрирует текущий коэффициент мощности в сети и подключает или отключает необходимую реактивную мощность. При этом контроллер выбирает ту ступень, которая меньше всего проработала до этого момента.

рис.3

Преимущества централизованной компенсации реактивной мощности с автоматическим регулированием:



• Компенсация четко соответствует изменяющейся во времени нагрузке
• Конденсаторная батарея размещена рядом со щитом питания
• Более эффективное использование конденсаторов: контроллер равномерно распределяет нагрузку на конденсаторы, что увеличивает срок службы конденсаторов
• Лучшее регулирование напряжения в энергосистеме

Важно обратить внимание, что распределительная сеть до щита питания нагружена реактивной мощностью. Необходим контроллер и аппарат управления ступенями, что усложняет решение, но при этом делает его более оптимальным по функционалу и стоимости.

В ассортименте компании EKF представлены все элементы компенсации реактивной мощности:



• Конденсаторы КПС-0,40-ХХ-3, рассчитанные на работу в трехфазных сетях переменного тока 400В с номинальными емкостями до 50 кВАр
• Регуляторы на 3,5,7,14 подключаемых ступеней компенсации

               <li><span><a href="https://ekfgroup.com/produktsiya/kommutatsionnoe-oborudovanie-do-1000a/kontaktory-dlja-kondensatornyh-batarej-KRM/">Контакторы</a> для конденсаторов номиналами от 12,5 кВАр до 50 кВАр с катушками управления 230В и 400В</span><a href="https://ekfgroup.com/produktsiya/kommutatsionnoe-oborudovanie-do-1000a/kontaktory-dlja-kondensatornyh-batarej-KRM/"><img src="/uploads/articles/155098/kontakt.png" /></a></li>



               <li><span>Щиты ШМП и ВРУ с удобной внутренней конфигурацией, которые можно подобрать для любого варианта компенсации реактивной мощности.</span><img src="/uploads/articles/155098/shit.png" /> </li>               </ul>


           <p>Кроме того, в компании EKF проводится сертификация сборщиков данного оборудования. Подробнее о том, как осуществить квалифицированный подбор и сборку компенсаторных установок в вашем регионе, можно уточнить по электронной почте <a href="mailto:[email protected]"><b>[email protected]</b></a>.</p>
   </ul></div>

Прибор для измерения косинуса фи Э1600 0-1-0 cos F, цена 978 грн

год изготовления: 80…89 г.

примечание: — упаковка (вид):

Фазометр Э1600 предназначен для измерений коэффициента мощности в трехфазных сетях частотой 50Гц, 60Гц и 400Гц при равномерной нагрузке фаз и симметричном напряжении.
    Подключение последовательных цепей прибора Э1600 (Э160) осуществляется через измерительные трансформаторы тока с вторичной обмоткой  на 5А или 1А, либо через измерительные трансформаторы тока с  вторичной обмоткой на 5А. либо через промежуточные трансформаторы тока И1820 с коэффициентом трансформации 5/1. Диапазон измерений cosφ 0_емк — 1 — 0_инд.
    Параметры прибора Фазометры Э1600 приведены в табл. 1.

    Время установления показаний не превышает 3с. Изменение показаний прибора фазометр Э1600, вызванное отклонением температуры окружающего воздуха от нормальной на каждые 10К, соответствует 0,2 допускаемой основной погрешности. Допускаемая дополнительная погрешность прибора под влиянием внешнего магнитною поля индукцией 0.5мТл частотой, одинаковой с частотой тока, протекающего по измерительным цепям, не превышает 0,4 допускаемой основной погрешности.
    Мощность, потребляемая каждой последовательной цепью прибора Э1600, при номинальном токе и частоте 50Гц и 60 Гц не превышает 5Вт, при частоте 400Гц — 10Вт. Мощность, потребляемая параллельной цепью прибора, при номинальном напряжении и частоте 50Гц, 60Гц и 400Гц не превышает 8Вт.
    Система прибора электромагнитная с подвижной частью на  кернах, с круговой шкалой. Масса 2,3кг. Наработка на отказ не менее 33300ч. По устойчивости к климатическим воздействиям прибор соответствует ГОСТ.
    Климатическое исполнение — обычное и тропическое (Э1600Т).
 
    Таблица 1. Параметры прибора фазометр Э1600

Тип прибора	Номинальное значение		Номинальная частота	Включение прибора (параллельная цепь)
	напряжения	тока
Э1600	380В	1,5А	50Гц	Через трансформатор напряжения 380/127

Частично без упаковки, изготовитель: …

Оптовым покупателям и постоянным клиентам скидки.

% PDF-1.5 % 4 0 объект > эндобдж xref 4 92 0000000016 00000 н. 0000002456 00000 н. 0000002552 00000 н. 0000003170 00000 н. 0000003551 00000 н. 0000003595 00000 н. 0000003639 00000 н. 0000003674 00000 н. 0000005003 00000 н. 0000005446 00000 н. 0000005582 00000 н. 0000008230 00000 н. 0000008848 00000 н. 0000009471 00000 п. 0000009594 00000 н. 0000009707 00000 н. 0000009830 00000 н. 0000009941 00000 н. 0000010056 00000 п. 0000010169 00000 п. 0000010238 00000 п. 0000010337 00000 п. 0000016968 00000 п. 0000017236 00000 п. 0000017533 00000 п. 0000017558 00000 п. 0000017975 00000 п. 0000024600 00000 п. 0000024853 00000 п. 0000025228 00000 п. 0000033916 00000 п. 0000034171 00000 п. 0000034666 00000 п. 0000034739 00000 п. 0000035041 00000 п. 0000035114 00000 п. 0000035421 00000 п. 0000035494 00000 п. 0000037500 00000 п. 0000039895 00000 п. 0000040270 00000 п. 0000040343 00000 п. 0000040650 00000 п. 0000040723 00000 п. 0000040753 00000 п. 0000040826 00000 п. 0000070265 00000 п. 0000070586 00000 п. 0000070649 00000 п. 0000070763 00000 п. 0000070836 00000 п. 0000070948 00000 п. 0000071237 00000 п. 0000071513 00000 п. 0000071586 00000 п. 0000071616 00000 п. 0000071689 00000 п. 0000073695 00000 п. 0000074361 00000 п. 0000074686 00000 п. 0000074749 00000 п. 0000074864 00000 н. 0000076870 00000 п. 0000078876 00000 п. 0000079542 00000 п. 0000083713 00000 п. 0000084064 00000 п. 0000084137 00000 п. 0000085929 00000 п. 0000086002 00000 п. 0000087795 00000 п. 0000087868 00000 п. 0000089874 00000 п. 0000094704 00000 п. 0000095047 00000 п. 0000095120 00000 п. 0000097126 00000 п. 0000101620 00000 н. 0000102000 00000 н. 0000102073 00000 н. 0000104079 00000 п. 0000106499 00000 н. 0000106869 00000 н. 0000108523 00000 п. 0000110177 00000 н. 0000114998 00000 н. 0000276865 00000 н. 0000278519 00000 н. 0000280173 00000 н. 0000285036 00000 н. 0000450022 00000 н. 0000002136 00000 п. трейлер ] / Назад 453036 >> startxref 0 %% EOF 95 0 объект > поток hb«d`vE01! $ H (f`Oqs`af`jl«g? * d0`ԐρB: elFQ24>

Коэффициент мощности в зависимости от cos phi — Многоканальные счетчики качества электроэнергии Elnet Power | EN50160

Коэффициент мощности такой же, как cos φ?

Формула S * cos φ = P действительна только для синусоидальных значений.Однако, по крайней мере, в современных системах ток далеко не синусоидальный. «Φ» — это фазовый угол между основными волнами тока и напряжения.

Если включены также некоторые гармоники, форма сигнала в системах может быть выражена суммой основных волн и целых гармоник. Таким образом, расчет становится проще, и активная мощность может быть выражена как:

P = Σ (U _n * I _{n *} cos φ _n )

С: n = гармоники, U _n = среднеквадратичное значение n.гармоника U, I _n также U _n .

Простой эксперимент:
Синусоидальное напряжение и искаженный ток, как показано здесь:

Это реальная картина сетевого питания. Напряжение синусоидально, но не ток. Также легко увидеть, что основные волны напряжения и тока почти имеют единую фазу.
Поскольку напряжение синусоидально, U _n = 0 В для n> 1, это означает, что только основные составляющие влияют на среднеквадратичное значение (230 В), а также на активную мощность.

Результат: P = U * I ₁ * cos φ ₁ . Таким образом, приведенное выше уравнение сводится к основным компонентам (произведение будет равно 0 для всех n> 1).

Кроме того, реактивная мощность (основной сдвиг) Q ₁ = 0, потому что нет сдвига фазы между U и I.

Полная мощность определяется как:

S = U _rms * I _rms = (Σ (U _n ²)) ^0,5 * (Σ (I _n ²)) ^0,5

Поскольку ток значительно искажен I _n ≠ 0 для n> 1!

По этой причине S> P и коэффициент мощности λ = P / S ≠ cos φ .

Итак, степенной треугольник — это трехмерный многогранник или универсальный треугольник:

S² = P² + Q ₁ ² + Q _d ²

Q _до = Полная реактивная мощность
Q ₁ = Основная реактивная мощность смещения
Q _d = Реактивная мощность искажения (часто также обозначается буквой «D»)

Cos φ получается из отношения эффективной мощности (P) к основной мощности полной мощности (S ₁ ) .
Коэффициент мощности λ = cos Φ получается из соотношения эффективной мощности (P) к общей полной мощности (S) от основной гармоники и гармоник.

Разработка проекта> Определение подключенной к сети системы> Коэффициент мощности

Энергия E_grid, вычисленная с помощью моделирования PVsyst, представляет собой активную (или реальную) энергию, выраженную в [кВтч].

Теперь менеджеру сети может потребоваться выработка некоторой реактивной энергии для компенсации дисбаланса других пользователей (выражается в [кВАрч]).

Полная энергия — это произведение U * I, выраженное в [кВА · ч].

Если напряжение синусоидальное, активная (или реальная) энергия равна U * I * cos (phi) [кВтч], где phi — фазовый сдвиг между током и напряжением.

Коэффициент мощности — это отношение активной энергии к полной энергии. В синусоидальном случае он равен cos (phi).

Фазовый сдвиг, производимый инверторами, иногда выражается как Tan (phi), положительный для выработки реактивной мощности (емкостной, Phi> 0, названный «опережающий») и отрицательный для поглощения реактивной мощности (индуктивный, Phi <0, названный «запаздывающим». ).

В результатах моделирования:

Следовательно, мы имеем E_GridApp [кВАч] = E_Grid [кВтч] / Cos (Phi): Полная энергия всегда имеет более высокое значение, чем Активная энергия E_Grid, рассчитанная при моделировании.

Если вы укажете фазовый сдвиг в моделировании (кнопка «Управление энергией»), полная энергия появится внизу диаграммы потерь.

Эта величина не влияет на вычисление E_Grid, но вызывает увеличение реального тока в линиях переменного тока и, следовательно, увеличение потерь в проводке в цепи переменного тока (а также во внешнем инверторе в любом случае).

NB: Технически выработка реактивной энергии — это параметр, который должен быть запрограммирован в инверторном устройстве. Это фиксировано на определенный период.

Влияние на PNom

Теперь возникает вопрос с условиями перегрузки. Есть 2 возможности:

— либо Pном, указанное производителем инвертора, соответствует активной мощности. В этом случае обычное моделирование правильно учитывает условия перегрузки.

— или Pном, указанное производителем инвертора, является полной мощностью.В этом случае ограничение мощности должно происходить для PnomApp [кВА] = Pnom [кВт] / cosPhi. Поэтому моделирование должно скорректировать Pnom, указанное в определении инвертора, разделив его на требуемое CosPhi.

NB: ограничение полной мощности иногда указывается как ограничение по току. В данный момент это зависит от выходного напряжения, то есть напряжения сети. Однако во время моделирования эволюция напряжения сети неизвестна; поэтому ограничение мощности не может применяться с использованием этого текущего критерия.

Процедура

В PVsyst коэффициент мощности можно указать, нажав кнопку «Управление энергией», как Cos (фи) или как Tan (фи). Также может указываться в месячных значениях.

Это будет воздействовать на ограничение Pном. Инвертора, если оно задано как Предел полной мощности, а полная энергия указана на диаграмме потерь.

Ведущие и запаздывающие токи

Определим Phi как фазовый сдвиг между током и напряжением.

Когда индуктивность (двигатель) подключена к сети, это создает задержку по фазе потребляемого тока.Это называется запаздыванием и соответствует Phi <0.

Когда к сети подключена емкость, она заранее поглощает ток по сравнению с напряжением. Это называется ведущим и соответствует Phi> 0.

Многочисленные двигатели, присутствующие в сети (индуктивная нагрузка), «потребляют» реактивную мощность. Электронное производство энергии солнечных инверторов упрощает выработку реактивной мощности. Поэтому менеджер сети часто требует, чтобы инверторы вырабатывали реактивную мощность (т.е.е. генерировать опережающий ток, phi> 0) для компенсации.

Синус и косинус объяснены визуально

Синус и косинус объяснены визуально

Визуальное объяснение

Виктор Пауэлл

с текстом Льюиса Лехе

Синус и косинус — также известные как sin (θ) и cos (θ) — являются функциями, показывающими форму прямоугольного треугольника. Если смотреть из вершины с углом θ, sin (θ) — это отношение противоположной стороны к гипотенузе, а cos (θ) — отношение соседней стороны к гипотенузе.Независимо от размера треугольника, значения sin (θ) и cos (θ) одинаковы для данного θ, как показано ниже.

Посмотрите на крайний левый рисунок выше (единичный круг). Гипотенуза треугольника имеет длину 1, поэтому (удобно!) Отношение его смежности к его гипотенузе равно cos (θ), а отношение его противоположности к гипотенузе равно sin (θ). Следовательно, поместив треугольники в точку (0,0) плоскости x / y, можно найти функции sin (θ) и cos (θ), записав значения x и y для каждого θ.6} {6!} \ Cdots \ конец {выровнено} \]

Используя синус и косинус, можно описать любую точку (x, y) как альтернативу, точку (r, θ), где r — длина сегмента от (0,0) до точки, а θ — угол между этим сегментом и осью абсцисс. Это называется полярной системой координат, и правило преобразования: (x, y) = (rcos (θ), rsin (θ)). Поиграйте с рисунками ниже, чтобы увидеть преобразование в реальном времени между декартовыми (т.е. координатами x / y) и полярными координатами.

Для получения дополнительных объяснений посетите домашнюю страницу проекта «Разъяснение визуально».

Или подпишитесь на нашу рассылку.

Пожалуйста, включите JavaScript, чтобы просматривать комментарии от Disqus. комментарии предоставлены

Комплексные числа: углы и полярные координаты

Комплексные числа: углы и полярные координаты Этот раздел предполагает знание тригонометрии. Для получения информации о тригонометрии см. Краткий курс Дэйва по адресу

 http: // www.clarku.edu/~djoyce/trig/ 

Полярные координаты помогут нам понять комплексные числа геометрически. С одной стороны, обычные прямоугольные координаты x и y задают комплексное число z = x + yi , задав расстояние x справа и расстояние y вверх. С другой стороны, полярные координаты задают ту же точку z , говоря, как далеко r от начала координат 0, и угол для прямой от начала координат до точки.Мы уже назвали расстояние r абсолютным значением | z | из z, , и мы увидели, как Теорема Пифагора дала связь между ним и x и y :

Далее нам нужно разобраться с углом. Мы будем следовать стандартному соглашению при указании угла . Согласно этому соглашению положительная ось x (наша действительная ось) находится под углом 0 °, положительная ось y (наша воображаемая ось) под углом 90 °, отрицательная x — угол оси 180 °, а отрицательная y — ось под углом 270 °.Кроме того, 360 ° можно складывать или вычитать под любым углом, и направление при этом не меняется. Так, 0 °, 360 °, 720 ° и –360 ° относятся к положительной оси x . Аналогично 270 ° и –90 ° оба относятся к отрицательной оси y . Угол 45 ° проходит по линии y = x вправо. И так далее.

Точка z может быть указана либо парой, парой прямоугольных координат, x и y , либо парой полярных координат. координаты, r, , который | z |, и является arg ( z ).Поскольку любая пара определяет точку, каждая пара должна определять другую пару. Должно получиться четыре уравнения, связывающих их, и так оно и есть. Пифагорейский идентичность была упомянута выше, но другие требуют тригонометрии. Из того же треугольника мы используется для теоремы Пифагора, мы находим следующие три соотношения:

tan = y / x , x = r cos, и y = r sin.

Теперь, если мы применим эти отношения к нашему комплексному числу z = x + yi, , то мы получим альтернативное описание для z

Обратите внимание, что комплексное число cos + i sin имеет абсолютное значение 1, поскольку cos ² + sin ² равно 1 для любого угла.Таким образом, каждое комплексное число z является произведение действительного числа | z | и комплексное число cos + i sin.

Мы почти подошли к тому моменту, когда мы можем доказать последнее недоказанное утверждение предыдущего раздела об умножении, а именно, что arg ( zw ) = arg ( z ) + arg ( w ). Как и выше, мы принимаем arg ( z ) равным, а теперь пусть будет arg ( w ). Потом,

z = | z | (cos + i sin) и w = | w | (cos + i sin)

Нам нужно показать, что arg ( zw ) равен +.Другими словами

zw = | zw | (cos (+) + i sin (+))

Если мы воспользуемся формулами сложения для косинуса и синуса в одной критической точке, мы получим это. Вспомните из тригонометрии эти сложения формулы:

соз (+) = соз соз — грех грех

грех (+) = соз грех + грех соз.

Теперь мы готовы показать аргументы, добавленные в продукт zw.

Таким образом, arg ( zw ) равен +, как заявлено.

Единичный круг: функции синуса и косинуса

Чтобы определить наши тригонометрические функции, мы начинаем с рисования единичного круга, круга с центром в начале координат с радиусом 1, как показано на рисунке 2. Угол (в радианах), который пересекает [latex] t [/ latex], образует дугу. длины [латекс] с [/ латекс]. Используя формулу [latex] s = rt [/ latex] и зная, что [latex] r = 1 [/ latex], мы видим, что для единичной окружности , [latex] s = t [/ latex].

Напомним, что оси x- и y- делят координатную плоскость на четыре четверти, называемых квадрантами.Мы помечаем эти квадранты, чтобы имитировать направление, в котором развернется положительный угол. Четыре квадранта обозначены I, II, III и IV.

Для любого угла [латекс] t [/ латекс] мы можем пометить пересечение конечной стороны и единичного круга его координатами, [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex]. Координаты [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] будут выходами тригонометрических функций [latex] f \ left (t \ right) = \ cos t [/ latex] и [latex] f \ left (t \ right) = \ sin t [/ latex] соответственно.Это означает [латекс] x = \ cos t [/ latex] и [латекс] y = \ sin t [/ latex].

Рис. 2. Единичная окружность с центральным углом [латекс] t [/ латекс] радиан

A Общее примечание: Unit Circle

Единичная окружность имеет центр [латекс] \ влево (0,0 \ вправо) [/ латекс] и радиус [латекс] 1 [/ латекс]. В единичном круге длина перехваченной дуги равна радианам центрального угла [латекс] 1 [/ латекс].

Пусть [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] будет конечной точкой на единичной окружности дуги длины дуги [latex] s [/ latex].Координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] этой точки могут быть описаны как функции угла.

Определение функций синуса и косинуса

Теперь, когда у нас есть помеченная единичная окружность, мы можем узнать, как координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] соотносятся с длиной дуги и углом . Синусоидальная функция связывает действительное число [латекс] t [/ латекс] с координатой y точки, где соответствующий угол пересекает единичную окружность.Точнее, синус угла [латекс] t [/ латекс] равен значению y конечной точки на единичной окружности дуги длиной [латекс] t [/ латекс]. На рисунке 2 синус равен [latex] y [/ latex]. Как и все функции, синусоидальная функция имеет вход и выход. Его вход — мера угла; его выход — координата y соответствующей точки на единичной окружности.

Функция косинуса угла [латекс] t [/ latex] равна значению x конечной точки на единичной окружности дуги длиной [латекс] t [/ латекс].{2} [/ латекс]. Имейте в виду, что многие калькуляторы и компьютеры не распознают сокращенную запись. В случае сомнений используйте дополнительные скобки при вводе вычислений в калькулятор или компьютер.

Общее примечание: функции синуса и косинуса

Если [латекс] t [/ latex] является действительным числом и точка [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex] на единичном круге соответствует углу [латекса] t [/ latex] , затем

[латекс] \ cos t = x [/ латекс]

[латекс] \ sin t = y [/ латекс]

Как сделать: по точке

P [латекс] \ left (x, y \ right) [/ latex] на единичной окружности, соответствующей углу [латекс] t [/ latex], найдите синус и косинус.

1. Синус [latex] t [/ latex] равен y -координате точки [latex] P: \ sin t = y [/ latex].
2. Косинус [latex] t [/ latex] равен x -координате точки [latex] P: \ text {cos} t = x [/ latex].

Пример 1: Поиск значений функции для синуса и косинуса

Точка [латекс] P [/ латекс] — это точка на единичной окружности, соответствующая углу [латекс] t [/ латекс], как показано на рисунке 4. Найдите [латекс] \ cos \ left (t \ right) \\ [/ latex] и [latex] \ text {sin} \ left (t \ right) \\ [/ latex].

Рисунок 4

Решение

Мы знаем, что [latex] \ cos t [/ latex] — это координата x соответствующей точки на единичной окружности, а [latex] \ sin t [/ latex] — это координата y соответствующей точки. точка на единичной окружности. Итак:

[латекс] \ begin {массив} {l} \ begin {array} {l} \\ x = \ cos t = \ frac {1} {2} \ end {array} \ hfill \\ y = \ sin t = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

Попробуй 1

Определенный угол [латекс] t [/ латекс] соответствует точке на единичной окружности в [латекс] \ left (- \ frac {\ sqrt {2}} {2}, \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ right) \\ [/ latex], как показано на рисунке 5.Найдите [латекс] \ cos t [/ latex] и [латекс] \ sin t [/ latex].

Рисунок 5

Решение

Нахождение синусов и косинусов углов на оси

Для квадрантных углов соответствующая точка единичной окружности попадает на ось x- или y . {2} t = 1 [/ латекс]

Как: по синусу некоторого угла [latex] t [/ latex] и его расположению в квадранте, найдите косинус [latex] t [/ latex].

1. Подставьте известное значение [латекс] \ sin \ left (t \ right) [/ latex] в пифагорейскую идентичность.
2. Решите относительно [латекс] \ cos \ left (t \ right) [/ latex].
3. Выберите решение с соответствующим знаком для значений x в квадранте, где находится [latex] t [/ latex].

Пример 3: Нахождение косинуса из синуса или синуса из косинуса

Если [латекс] \ sin \ left (t \ right) = \ frac {3} {7} \\ [/ latex] и [latex] t [/ latex] находится во втором квадранте, найдите [latex] \ cos \ left (t \ right) \\ [/ латекс].{2} \ left (t \ right) = \ frac {40} {49} \ hfill \\ \ text {cos} \ left (t \ right) = \ pm \ sqrt {\ frac {40} {49}} = \ pm \ frac {\ sqrt {40}} {7} = \ pm \ frac {2 \ sqrt {10}} {7} \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

Поскольку угол находится во втором квадранте, мы знаем, что значение x- является отрицательным действительным числом, поэтому косинус также отрицательный. Итак,
[латекс] \ text {cos} \ left (t \ right) = — \ frac {2 \ sqrt {10}} {7} \\ [/ latex]

Попробовать 3

Если [латекс] \ cos \ left (t \ right) = \ frac {24} {25} \\ [/ latex] и [latex] t [/ latex] находится в четвертом квадранте, найдите [latex] \ text {грех} \ влево (т \ вправо) \\ [/ латекс].Треугольник \ circ [/ latex] — это равнобедренный треугольник, поэтому координаты x- и y соответствующей точки на окружности совпадают. Поскольку значения x- и y одинаковы, значения синуса и косинуса также будут равны.

Рисунок 9

При [latex] t = \ frac {\ pi} {4} [/ latex], что составляет 45 градусов, радиус единичной окружности делит пополам первый квадратный угол . Это означает, что радиус лежит вдоль линии [латекс] y = x [/ latex].{2} = \ frac {1} {2} \\ \ text {} x = \ pm \ frac {1} {\ sqrt {2}} \ end {array} \\ [/ latex]

В квадранте I [латекс] x = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \\ [/ latex]. \ circ [/ latex] — это [латекс] \ left (\ frac {\ sqrt {2}} {2}, \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ right) \\ [/ latex].\ circ [/ latex], как показано на рисунке 12.

Рисунок 11

Рисунок 12

Поскольку все углы равны, стороны также равны. Вертикальная линия имеет длину [latex] 2y [/ latex], и, поскольку все стороны равны, мы также можем сделать вывод, что [latex] r = 2y [/ latex] или [latex] y = \ frac {1} {2 } г [/ латекс]. Поскольку [латекс] \ sin t = y [/ latex],

[латекс] \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {1} {2} r \\ [/ latex]

А поскольку [latex] r = 1 [/ latex] в нашем единичном круге ,

[латекс] \ begin {array} {l} \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {1} {2} \ left (1 \ right) \ hfill \\ \ текст {} = \ frac {1} {2} \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

Используя тождество Пифагора, мы можем найти значение косинуса.\ circ [/ латекс]. Теперь у нас есть равносторонний треугольник. Поскольку каждая сторона равностороннего треугольника [латекс] ABC [/ латекс] имеет одинаковую длину, и мы знаем, что одна сторона является радиусом единичного круга, все стороны должны иметь длину 1.

Рисунок 13

Угол наклона [латекс] ABD [/ латекс] составляет 30 °. Так, если двойной, угол [латекс] ABC [/ латекс] равен 60 °. [latex] BD [/ latex] — это серединный перпендикуляр к [latex] AC [/ latex], поэтому он разрезает [latex] AC [/ latex] пополам. Это означает, что [latex] AD [/ latex] — это [latex] \ frac {1} {2} [/ latex] радиус или [latex] \ frac {1} {2} [/ latex].\ circ [/ latex] — это [латекс] \ left (\ frac {1} {2}, \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ right) \\ [/ latex], поэтому мы можем найти синус и косинус.

[латекс] \ begin {array} {l} \ left (x, y \ right) = \ left (\ frac {1} {2}, \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ right) \ hfill \\ x = \ frac {1} {2}, y = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ hfill \\ \ cos t = \ frac {1} {2}, \ sin t = \ гидроразрыв {\ sqrt {3}} {2} \ hfill \ end {array} \\ [/ latex]

Теперь мы нашли значения косинуса и синуса для всех наиболее часто встречающихся углов в первом квадранте единичной окружности. В таблице ниже приведены эти значения.

Угол	0	[латекс] \ frac {\ pi} {6} \\ [/ latex], или 30	[латекс] \ frac {\ pi} {4} \\ [/ latex], или 45 °	[латекс] \ frac {\ pi} {3} \\ [/ latex], или 60 °	[латекс] \ frac {\ pi} {2} \\ [/ latex], или 90 °
Косинус	1	[латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ латекс]	[латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ латекс]	[латекс] \ frac {1} {2} \\ [/ latex]	0
Синус	0	[латекс] \ frac {1} {2} \\ [/ latex]	[латекс] \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ [/ латекс]	[латекс] \ frac {\ sqrt {3}} {2} \\ [/ латекс]	1

На рисунке 14 показаны общие углы в первом квадранте единичной окружности.

Рисунок 14

Использование калькулятора для поиска синуса и косинуса

Чтобы найти косинус и синус углов, отличных от специальных углов , мы обращаемся к компьютеру или калькулятору. Будьте внимательны. : Большинство калькуляторов можно установить в режим «градус» или «радиан», который сообщает калькулятору единицы для входного значения. Когда мы вычисляем [латекс] \ cos \ left (30 \ right) [/ latex] на нашем калькуляторе, он будет оценивать его как косинус 30 градусов, если калькулятор находится в режиме градусов, или косинус 30 радиан, если калькулятор находится в радианном режиме.

Как: заданный угол в радианах, используйте графический калькулятор, чтобы найти косинус.

1. Если калькулятор имеет режим градусов и режим радиан, установите его в режим радиан.
2. Нажмите кнопку COS.
3. Введите значение угла в радианах и нажмите клавишу в скобках «)».
4. Нажмите ENTER.

Пример 4: Использование графического калькулятора для поиска синуса и косинуса

Вычислить [латекс] \ cos \ left (\ frac {5 \ pi} {3} \ right) \\ [/ latex] с помощью графического калькулятора или компьютера.\ circ [/ latex], например, включив коэффициент преобразования в радианы как часть входных данных:

SIN (20 × π ÷ 180) ВВОД

Попробовать 4

Вычислить [латекс] \ sin \ left (\ frac {\ pi} {3} \ right) \\ [/ latex].

Решение

Определение области и диапазона функций синуса и косинуса

Теперь, когда мы можем найти синус и косинус угла, нам нужно обсудить их области и диапазоны. Каковы области определения функций синуса и косинуса? То есть, какие наименьшие и наибольшие числа могут входить в функции? Поскольку углы меньше 0 и углы больше [латекс] 2 \ pi [/ latex] все еще могут быть нанесены на единичный круг и имеют реальные значения [латекс] x, y [/ latex] и [латекс] r [/ latex], не существует нижнего или верхнего предела углов, которые могут входить в функции синуса и косинуса.Входными данными для функций синуса и косинуса является поворот от положительной оси x , и это может быть любое действительное число.

Каковы диапазоны функций синуса и косинуса? Каковы наименьшие и наибольшие возможные значения их производительности? Мы можем увидеть ответы, исследуя единичную окружность , как показано на рисунке 15. Границы координаты x равны [latex] \ left [-1,1 \ right] [/ latex]. Границы координаты y также равны [latex] \ left [-1,1 \ right] [/ latex].Следовательно, диапазон функций синуса и косинуса равен [latex] \ left [-1,1 \ right] [/ latex].

Рисунок 15

Мы обсудили нахождение синуса и косинуса для углов в первом квадранте, но что, если наш угол находится в другом квадранте? Для любого заданного угла в первом квадранте существует угол во втором квадранте с тем же значением синуса. Поскольку значение синуса — это координата y на единичной окружности, другой угол с таким же синусом будет иметь то же значение y , но будет иметь противоположное значение x .Следовательно, его значение косинуса будет противоположным значению косинуса первого угла.

Аналогично, в четвертом квадранте будет угол с таким же косинусом, что и исходный угол. Угол с таким же косинусом будет иметь одинаковое значение x , но будет иметь противоположное значение y . Следовательно, его значение синуса будет противоположным значению синуса исходного угла.

Как показано на рисунке 16, угол [латекс] \ альфа [/ латекс] имеет то же значение синуса, что и угол [латекс] t [/ латекс]; значения косинуса противоположны.Угол [латекс] \ бета [/ латекс] имеет то же значение косинуса, что и угол [латекс] t [/ латекс]; значения синуса противоположны.

[латекс] \ begin {array} {lll} \ sin \ left (t \ right) = \ sin \ left (\ alpha \ right) \ hfill & \ text {and} \ hfill & \ cos \ left (t \ right ) = — \ cos \ left (\ alpha \ right) \ hfill \\ \ sin \ left (t \ right) = — \ sin \ left (\ beta \ right) \ hfill & \ text {и} \ hfill & \ cos \ left (t \ right) = \ cos \ left (\ beta \ right) \ hfill \ end {array} [/ latex]

Рисунок 16

Напомним, что опорный угол угла — это острый угол [латекс] t [/ латекс], образованный конечной стороной угла [латекс] t [/ латекс] и горизонтальной осью. \ circ \ mathrm {-t} | [/ latex].\ circ [/ latex]

Попробуй 5

Найдите опорный угол [латекса] \ frac {5 \ pi} {3} [/ latex].

Решение

Использование опорных углов

А теперь давайте вернемся к колесу обозрения, представленному в начале этого раздела. Предположим, всадник делает снимок, остановившись на высоте двадцати футов над уровнем земли. Затем всадник совершает поворот на три четверти по кругу. Что такое новый рост райдера? Чтобы ответить на такие вопросы, как этот, нам нужно оценить функции синуса или косинуса при углах, превышающих 90 градусов, или при отрицательном угле .Базовые углы позволяют оценивать тригонометрические функции для углов вне первого квадранта. Их также можно использовать для поиска координат [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] для этих углов. Мы будем использовать опорный угол угла поворота в сочетании с квадрантом, в котором находится конечная сторона угла.

Использование опорных углов для вычисления тригонометрических функций

Мы можем найти косинус и синус любого угла в любом квадранте, если мы знаем косинус или синус его опорного угла.Абсолютные значения косинуса и синуса угла такие же, как и у опорного угла. Знак зависит от квадранта исходного угла. Косинус будет положительным или отрицательным в зависимости от знака значений x в этом квадранте. Синус будет положительным или отрицательным в зависимости от знака значений y в этом квадранте.

Общее примечание: Использование опорных углов для определения косинуса и синуса

Углы имеют косинусы и синусы с тем же абсолютным значением, что и их опорные углы.Знак (положительный или отрицательный) можно определить по квадранту угла.

Как: для заданного угла в стандартном положении найдите опорный угол, а также косинус и синус исходного угла.

1. Измерьте угол между конечной стороной заданного угла и горизонтальной осью. Это опорный угол.
2. Определите значения косинуса и синуса опорного угла.
3. Присвойте косинусу тот же знак, что и значениям x в квадранте исходного угла.\ circ \ right) = \ frac {1} {2} [/ latex]

4. [латекс] \ frac {5 \ pi} {4} [/ latex] находится в третьем квадранте. Его опорный угол составляет [латекс] \ frac {5 \ pi} {4} — \ pi = \ frac {\ pi} {4} [/ latex]. Косинус и синус [latex] \ frac {\ pi} {4} [/ latex] оба равны [latex] \ frac {\ sqrt {2}} {2} [/ latex]. В третьем квадранте значения [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] отрицательны, поэтому:

   [латекс] \ cos \ frac {5 \ pi} {4} = — \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ text {и} \ sin \ frac {5 \ pi} {4} = — \ гидроразрыв {\ sqrt {2}} {2} [/ latex]

Попробовать 6

а.\ circ \ right) [/ латекс].

г. Используйте исходный угол [латекс] — \ frac {\ pi} {6} [/ latex], чтобы найти [латекс] \ cos \ left (- \ frac {\ pi} {6} \ right) [/ latex] и [латекс] \ sin \ left (- \ frac {\ pi} {6} \ right) [/ latex].

Использование опорных углов для поиска координат

Теперь, когда мы узнали, как находить значения косинуса и синуса для особых углов в первом квадранте, мы можем использовать симметрию и опорные углы, чтобы заполнить значения косинуса и синуса для остальных особых углов единичной окружности.Они показаны на рисунке 19. Найдите время, чтобы узнать координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] всех основных углов в первом квадранте.

В дополнение к изучению значений специальных углов, мы можем использовать опорные углы, чтобы найти координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] любой точки на единичной окружности, используя то, что мы знаем об опорных углах. вместе с удостоверениями личности

[латекс] \ begin {array} {l} x = \ cos t \ hfill \\ y = \ sin t \ hfill \ end {array} [/ latex]

Сначала мы находим опорный угол, соответствующий данному углу.Затем мы берем значения синуса и косинуса опорного угла и даем им знаки, соответствующие значениям квадранта y и x .

Практическое руководство. Зная угол точки на окружности и радиус окружности, найдите координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex] точки.

1. Найдите опорный угол, измерив наименьший угол к оси x .
2. Найдите косинус и синус опорного угла.
3. Определите соответствующие знаки для [латекс] x [/ латекс] и [латекс] y [/ латекс]
   в данном квадранте.

Пример 6: Использование единичной окружности для поиска координат

Найдите координаты точки на единичной окружности под углом [латекс] \ frac {7 \ pi} {6} [/ latex].

Решение

Мы знаем, что угол [латекс] \ frac {7 \ pi} {6} [/ latex] находится в третьем квадранте.

Во-первых, давайте найдем опорный угол, измерив угол к оси x .Чтобы найти опорный угол угла, конечная сторона которого находится в квадранте III, мы находим разность угла и [латекс] \ pi [/ латекс].

[латекс] \ frac {7 \ pi} {6} — \ pi = \ frac {\ pi} {6} [/ latex]

Далее мы найдем косинус и синус опорного угла:

[латекс] \ cos \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) = \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right ) = \ frac {1} {2} [/ latex]

Мы должны определить соответствующие знаки для x и y в данном квадранте.Поскольку наш исходный угол находится в третьем квадранте, где оба [latex] x [/ latex] и [latex] y [/ latex] отрицательны, косинус и синус отрицательны.

[латекс] \ begin {array} {l} \ cos \ left (\ frac {7 \ pi} {6} \ right) = — \ frac {\ sqrt {3}} {2} \ hfill \\ \ sin \ left (\ frac {7 \ pi} {6} \ right) = — \ frac {1} {2} \ hfill \ end {array} [/ latex]

Теперь мы можем вычислить координаты [latex] \ left (x, y \ right) [/ latex], используя тождества [latex] x = \ cos \ theta [/ latex] и [latex] y = \ sin \ theta [ /латекс].

Координаты точки: [latex] \ left (- \ frac {\ sqrt {3}} {2}, — \ frac {1} {2} \ right) [/ latex] на единичной окружности.{2} t = 1 [/ латекс]

Ключевые понятия

• Нахождение значений функции для синуса и косинуса начинается с рисования единичной окружности с центром в начале координат и радиусом 1 единица.
• Используя единичную окружность, синус угла [латекс] t [/ latex] равен значению y конечной точки единичной окружности дуги длиной [латекс] t [/ латекс], тогда как косинус угол [latex] t [/ latex] равен значению конечной точки x .
• Значения синуса и косинуса наиболее точно определяются, когда соответствующая точка единичной окружности попадает на ось.
• Когда синус или косинус известен, мы можем использовать пифагорову тождество, чтобы найти другое. Пифагорейская идентичность также полезна для определения синусов и косинусов особых углов.
• Калькуляторы и программное обеспечение для построения графиков полезны для поиска синусов и косинусов, если известна правильная процедура ввода информации.
• Все функции синуса и косинуса являются действительными числами.
• Диапазон функций синуса и косинуса: [latex] \ left [-1,1 \ right] [/ latex].
• Синус и косинус угла имеют то же абсолютное значение, что и синус и косинус опорного угла.
• Знаки синуса и косинуса определяются из значений x и y в квадранте исходного угла.
• Опорный угол угла — это размерный угол [латекс] t [/ латекс],
  , образованный конечной стороной угла [латекс] t [/ латекс] и горизонтальной осью.
• Опорные углы можно использовать для определения синуса и косинуса исходного угла.
• Опорные углы также можно использовать для определения координат точки на окружности.

Глоссарий

функция косинуса

значение x точки на единичной окружности, соответствующее заданному углу

Пифагорейская идентичность

следствие теоремы Пифагора, утверждающее, что квадрат косинуса заданного угла плюс квадрат синуса этого угла равняется 1

синусоидальная функция

значение y точки на единичной окружности, соответствующее заданному углу

единичный круг

круг с центром в [latex] \ left (0,0 \ right) [/ latex]
и радиусом

Раздел упражнения

1.Опишите единичный круг.

2. Что обозначают координаты x- и y- точек на единичной окружности?

3. Обсудите разницу между котерминальным углом и опорным углом.

4. Объясните, чем косинус угла во втором квадранте отличается от косинуса его опорного угла в единичной окружности.

5. Объясните, чем синус угла во втором квадранте отличается от синуса его опорного угла в единичной окружности.

В следующих упражнениях используйте заданный знак функций синуса и косинуса, чтобы найти квадрант, в котором находится конечная точка, определяемая [latex] t [/ latex].

6. [латекс] \ text {sin} \ left (t \ right) <0 [/ latex] и [latex] \ text {cos} \ left (t \ right) <0 [/ latex]

7. [латекс] \ text {sin} \ left (t \ right)> 0 [/ latex] и [latex] \ cos \ left (t \ right)> 0 [/ latex]

8. [латекс] \ sin \ left (t \ right)> 0 [/ латекс] и [латекс] \ cos \ left (t \ right) <0 [/ latex]

9.[латекс] \ sin \ left (t \ right) <0 [/ latex] и [латекс] \ cos \ left (t \ right)> 0 [/ latex]

Для следующих упражнений найдите точное значение каждой тригонометрической функции.

10. [латекс] \ sin \ frac {\ pi} {2} [/ латекс]

11. [латекс] \ sin \ frac {\ pi} {3} [/ латекс]

12. [латекс] \ cos \ frac {\ pi} {2} [/ латекс]

13. [латекс] \ cos \ frac {\ pi} {3} [/ латекс]

14. [латекс] \ sin \ frac {\ pi} {4} [/ латекс]

15. [латекс] \ cos \ frac {\ pi} {4} [/ латекс]

16.\ circ [/ latex]

28. [латекс] \ frac {5 \ pi} {4} [/ латекс]

29. [латекс] \ frac {2 \ pi} {3} [/ латекс]

30. [латекс] \ frac {5 \ pi} {6} [/ латекс]

31. [латекс] \ frac {-11 \ pi} {3} [/ латекс]

32. [латекс] \ frac {-7 \ pi} {4} [/ латекс]

33. [латекс] \ frac {- \ pi} {8} [/ латекс]

Для следующих упражнений найдите опорный угол, квадрант конечной стороны, а также синус и косинус каждого угла. Если угол не является одним из углов единичной окружности, воспользуйтесь калькулятором и округлите до трех десятичных знаков.\ circ [/ latex]

42. [латекс] \ frac {5 \ pi} {4} [/ латекс]

43. [латекс] \ frac {7 \ pi} {6} [/ латекс]

44. [латекс] \ frac {5 \ pi} {3} [/ латекс]

45. [латекс] \ frac {3 \ pi} {4} [/ латекс]

46. [латекс] \ frac {4 \ pi} {3} [/ латекс]

47. [латекс] \ frac {2 \ pi} {3} [/ латекс]

48. [латекс] \ frac {5 \ pi} {6} [/ латекс]

49. [латекс] \ frac {7 \ pi} {4} [/ латекс]

Найдите требуемое значение для следующих упражнений.

50. Если [latex] \ text {cos} \ left (t \ right) = \ frac {1} {7} [/ latex] и [latex] t [/ latex] находится в квадранте 4 ^th , найдите [латекс] \ text {sin} \ left (t \ right) [/ latex].

51. Если [латекс] \ text {cos} \ left (t \ right) = \ frac {2} {9} [/ latex] и [latex] t [/ latex] находится в квадранте 1 ^st , найдите [латекс] \ text {sin} \ left (t \ right) [/ latex].

52. Если [латекс] \ text {sin} \ left (t \ right) = \ frac {3} {8} [/ latex] и [latex] t [/ latex] находится в квадранте 2 ^nd , найдите [латекс] \ text {cos} \ left (t \ right) [/ latex].

53. Если [латекс] \ text {sin} \ left (t \ right) = — \ frac {1} {4} [/ latex] и [latex] t [/ latex] находится в квадранте 3 ^rd найдите [латекс] \ text {cos} \ left (t \ right) [/ latex].\ circ [/ латекс].

56. Найдите координаты точки на окружности с радиусом 8, соответствующей углу [латекс] \ frac {7 \ pi} {4} [/ latex].

57. Найдите координаты точки на окружности с радиусом 16, соответствующей углу [латекс] \ frac {5 \ pi} {9} [/ latex].

58. Укажите область определения функций синуса и косинуса.

59. Укажите диапазон функций синуса и косинуса.

Для следующих упражнений используйте заданную точку на единичном круге, чтобы найти значение синуса и косинуса [латекс] t [/ латекс].

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.

69.

70.

71.

72.

73.

74.

75.

76.

77.

78.

79.

Для следующих упражнений используйте графический калькулятор для оценки.\ circ [/ latex]

90. [латекс] \ sin \ left (\ frac {11 \ pi} {3} \ right) \ cos \ left (\ frac {-5 \ pi} {6} \ right) [/ latex]

91. [латекс] \ sin \ left (\ frac {3 \ pi} {4} \ right) \ cos \ left (\ frac {5 \ pi} {3} \ right) [/ latex]

92. [латекс] \ sin \ left (- \ frac {4 \ pi} {3} \ right) \ cos \ left (\ frac {\ pi} {2} \ right) [/ latex]

93. [латекс] \ sin \ left (\ frac {-9 \ pi} {4} \ right) \ cos \ left (\ frac {- \ pi} {6} \ right) [/ latex]

94. [латекс] \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) \ cos \ left (\ frac {- \ pi} {3} \ right) [/ latex]

95.[латекс] \ sin \ left (\ frac {7 \ pi} {4} \ right) \ cos \ left (\ frac {-2 \ pi} {3} \ right) [/ latex]

96. [латекс] \ cos \ left (\ frac {5 \ pi} {6} \ right) \ cos \ left (\ frac {2 \ pi} {3} \ right) [/ latex]

97. [латекс] \ cos \ left (\ frac {- \ pi} {3} \ right) \ cos \ left (\ frac {\ pi} {4} \ right) [/ latex]

98. [латекс] \ sin \ left (\ frac {-5 \ pi} {4} \ right) \ sin \ left (\ frac {11 \ pi} {6} \ right) [/ latex]

99. [латекс] \ sin \ left (\ pi \ right) \ sin \ left (\ frac {\ pi} {6} \ right) [/ latex]

Для следующих упражнений используйте этот сценарий. Ребенок входит в карусель, которая совершает один оборот за одну минуту.Ребенок входит в точку [latex] \ left (0,1 \ right) [/ latex], то есть на правильном северном положении. Предположим, карусель вращается против часовой стрелки.

100. Какие координаты ребенка через 45 секунд?

101. Какие координаты ребенка через 90 секунд?

102. Какие координаты ребенка через 125 секунд?

103. Когда у ребенка будут координаты [latex] \ left (0.707, -0.707 \ right) [/ latex], если поездка длится 6 минут? (Есть несколько ответов.)

104. Когда у ребенка будут координаты [latex] \ left (-0,866, -0,5 \ right) [/ latex], если поездка продлится 6 минут?

Калькулятор — cos (pi) — Solumaths

Резюме:

Тригонометрическая функция cos вычисляет косинус угла в радианах, градусы или градианы.

потому что онлайн

---

Описание:

Калькулятор позволяет использовать большую часть тригонометрических функций , можно вычислить косинус , синус и касательная угла через одноименные функции..

Тригонометрическая функция косинус отмечен cos , позволяет рассчитать косинус угла онлайн , можно использовать разные угловые единицы: градусы, градианы и радианы, которые являются угловыми единицами по умолчанию.

1. Расчет косинуса

   Косинус для вычисления угла в радианах

   Калькулятор косинуса позволяет через функцию cos вычислить онлайн косинус угла в радианах, сначала необходимо выберите желаемую единицу измерения, нажав кнопку параметров модуля расчета.После этого можно приступать к расчетам.

   Чтобы вычислить косинус числа «пи / 6» онлайн, введите cos (`pi / 6`), после вычисления результат sqrt (3) / 2 возвращается.

   Обратите внимание, что функция косинуса способна распознавать некоторые особые углы и делать расчеты со специальными связанными значениями в точной форме.

   Вычислить косинус угла в градусах

   Чтобы вычислить косинус угла в градусах, необходимо сначала выбрать нужную единицу нажав на кнопку опций модуля расчета.После этого вы можете приступить к расчету.

   Чтобы вычислить косинус 90, введите cos (90), после вычисления restults 0 возвращается.

   Вычислить косинус угла в градусах

   Для вычисления косинуса угла в градусах необходимо сначала выбрать желаемую единицу измерения. нажав на кнопку опций модуля расчета. После этого вы можете приступить к расчету.

   Чтобы вычислить косинус 50, введите cos (50), после вычисления возвращается результат sqrt (2) / 2.

   Обратите внимание, что функция косинуса способна распознавать некоторые особые углы и выполнять исчисление со специальными связанными точными значениями.

2. Специальные значения косинуса

   Косинус допускает некоторые особые значения, которые калькулятор может определять в точной форме. Вот список специальные значения косинуса :

3. Основные свойства

   `AA x в RR, k в ZZ`,

• `cos (-x) = cos (x)`
• `cos (x + 2 * k * pi) = cos (x)`
• `cos (pi-x) = — cos (x) `
• ` cos (pi + x) = — cos (x) `
• ` cos (pi / 2-x) = sin (x) `
• ` cos (pi / 2 + x) = — sin (x ) `

• Производная косинуса

Производная косинуса равна -sin (x).

• Первообразная косинуса

Первообразная косинуса равна sin (x).

• Свойства функции косинуса

Косинус Функция является четной функцией для каждого действительного x: `cos (-x) = cos (x)`. Следствием для кривой, представляющей функцию косинуса, является то, что она допускает ось ординат как ось симметрии.

• Уравнение с косинусом

В калькуляторе есть решающая программа, позволяющая решать уравнение с косинусом вида cos (x) = a .Расчеты для получения результата детализированы, поэтому можно будет решать уравнения вроде `cos (x) = 1 / 2` или `2 * cos (x) = sqrt (2)` с шагами расчета.


Тригонометрическая функция cos вычисляет косинус угла в радианах, градусы или градианы.

---

Синтаксис:

cos (x), где x — мера угла в градусах, радианах или градианах.

---

Примеры:

cos (`0`), возвращает 1

---

Производный косинус:

Чтобы дифференцировать косинус функции онлайн, можно использовать калькулятор производной, который позволяет вычислить производную функции косинуса

Производная от cos (x) является производной (`cos (x)`) = `-sin (x)`

---

Первоначальный косинус:

Калькулятор первообразной функции косинуса.

Первообразная от cos (x) является первообразной (`cos (x)`) = `sin (x)`

---

Предельный косинус:

Калькулятор пределов позволяет вычислить пределы функции косинуса.

Предел для cos (x) является пределом (`cos (x)`)

---

Косинус обратной функции:

Функция , обратная косинусу , — это функция арккосинуса, отмеченная как arccos.

---

---

Графический косинус:

Графический калькулятор может строить функцию косинуса в интервале ее определения.

---

---

Свойство функции косинус:

Функция косинуса является четной функцией.